Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
pelo método da variação de parâmetros. Vamos precisar antes achar a solução geral da homogênea, obter uma base de soluções, calcular o Wronskiano e então usar as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
temos a equação característica
Logo uma base de soluções é
e a solução geral homogênea é
Passo 3
O Wronskiano de é
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que, se f(x)=11+e^x, então
Como e^x>0 para todo x, o denominador 1+e^x nunca zera, e o Wronskiano -e^-3x também é sempre não nulo. Logo a solução geral vale em todo o intervalo real: