Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=1 /(1+e^x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y''+3y'+2y=11+e^x
pelo método da variação de parâmetros. Vamos precisar antes achar a solução geral da homogênea, obter uma base de soluções, calcular o Wronskiano e então usar as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''+3y'+2y=0
temos a equação característica
r^2+3r+2=0Longrightarrow r=-1,,-2
Logo uma base de soluções é
y1=e^-x, y2=e^-2x,
e a solução geral homogênea é
yh=C1e^-x+C2e^-2x

Passo 3

O Wronskiano de y1,y2 é
W= y1 & y2 y1'&y2' =e^-x(-2e^-2x)-(-e^-x),e^-2x =-e^-3xneq0
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que, se f(x)=11+e^x, então
u1'=-f(x),y2W, u2'=f(x),y1W

Passo 4

Substituindo f, y1, y2 e W:
u1'=-11+e^x,e^-2x-e^-3x =e^-2x1+e^xcdot e^3x =e^x1+e^x
Integramos:
u1=integrale^x1+e^x,dx =lnl(1+e^xr)
u2'=11+e^x,e^-x-e^-3x =-e^-x1+e^xcdot e^3x =-e^2x1+e^x
Note que
e^2x1+e^x =e^x-e^x1+e^x,
então
u2=-integrall(e^x-e^x1+e^xr),dx =-e^x+lnl(1+e^xr)

Passo 5

A solução particular é
yp =u1,y1+u2,y2 =ln(1+e^x),e^-x +l(-e^x+ln(1+e^x)r)e^-2x
Agrupando termos:
yp=(e^-x+e^-2x)ln(1+e^x)-e^-x
Portanto a solução geral é
y(x) =C1e^-x+C2e^-2x +(e^-x+e^-2x)ln(1+e^x)-e^-x

Passo 6

Como e^x>0 para todo x, o denominador 1+e^x nunca zera, e o Wronskiano -e^-3x também é sempre não nulo. Logo a solução geral vale em todo o intervalo real:
boxed(-infty,,+infty)

Resposta

y(x) =C1e^-x+C2e^-2x +(e^-x+e^-2x)lnl(1+e^xr)-e^-x, xin(-infty,infty)

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