Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
3 y^prime prime-6 y^prime+30 y=e^x tg 3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
3,y''-6,y'+30,y = e^xtan(3x)
pelo método da variação dos parâmetros. O conteúdo é equação linear de coeficientes constantes e variação dos parâmetros. Vamos achar primeiro a solução complementar da homogênea e depois usar o sistema para variação dos parâmetros.

Passo 2

Colocamos a equação na forma normal dividindo tudo por 3:
y'' - 2,y' + 10,y = 13,e^xtan(3x)
Denotamos o lado direito por f(x)=tfrac13e^xtan(3x).

Passo 3

A equação homogênea associada é
y'' - 2,y' + 10,y = 0
com polinômio característico
r^2 - 2r + 10 = 0 Longrightarrow r = 1 pm 3,i
Logo as soluções fundamentais são
y1(x) = e^xcos(3x), y2(x) = e^xsin(3x)
e a solução complementar é
yc(x) = C1,e^xcos(3x) + C2,e^xsin(3x)

Passo 4

Para variação dos parâmetros usamos o Wronskiano de y1,y2:
W = y1 & y2[4pt] y1' & y2'
Calculando
y1' = e^xcos(3x) - 3e^xsin(3x), y2' = e^xsin(3x) + 3e^xcos(3x),
temos
W = e^xcos(3x)l(e^xsin(3x)+3e^xcos(3x)r) - l(e^xcos(3x)-3e^xsin(3x)r)e^xsin(3x) = 3,e^2x ]

Passo 5

As fórmulas de variação dos parâmetros são
u1' = -f(x),y2(x)W(x), u2' = f(x),y1(x)W(x),
onde f(x)=tfrac13e^xtan(3x) e W=3e^2x.

Passo 6

Calculamos
u1' = -tfrac13e^xtan(3x),l(e^xsin(3x)r)3e^2x = -19,tan(3x),sin(3x) = -19,sin^2(3x)cos(3x),
u2' = tfrac13e^xtan(3x),l(e^xcos(3x)r)3e^2x = 19,tan(3x),cos(3x) = 19,sin(3x)
Agora integramos:
u1(x) = -19integral sin^2(3x)cos(3x),dx = -19integrall(sec(3x)-cos(3x)r),dx = -127ln!l|sec(3x)+tan(3x)r| +127sin(3x),
u2(x) = 19integral sin(3x),dx = -127cos(3x)

Passo 7

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2
Substituindo e simplificando (os termos com sin(3x)cos(3x) se cancelam), sobra
yp(x) = -e^xcos(3x)27, ln!l|sec(3x)+tan(3x)r|

Passo 8

A solução geral é
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1,e^xcos(3x) + C2,e^xsin(3x) -e^xcos(3x)27, ln!l|sec(3x)+tan(3x)r|

Passo 9

Essa solução requer cos(3x)neq0 para não haver singularidade em sec(3x) e tan(3x). Um intervalo típico de validade é, por exemplo,
-pi6 < x < pi6,
ou qualquer outro intervalo contido entre duas raízes de cos(3x)=0.

Resposta

y(x) = C1,e^xcos(3x) + C2,e^xsin(3x) -e^xcos(3x)27, ln!l|sec(3x)+tan(3x)r|,
válido em intervalos onde cos(3x)neq0 (por exemplo, -pi/6<x<pi/6).

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