Prove que duas quaisquer autofunções ligadas não degeneradas diferentes, psii(x) e psij(x), que sejam soluções da equação de Schrödinger independente do tempo para o mesmo potencial V(x) obedecem à relação de ortogonalidade:
integralDe<a psii^*(x) psij(x) d x=0 (* * *)
Sugestão: (i) Escreva as equações para as quais psii e psij são soluções e tome o complexo conjugado da segunda para obter a equação satisfeita por psij^*. (ii) Multiplique a equação em psii por psij^*, e a equação em psij^* por psii e subtraia uma da outra. (iii) Integre usando uma relação do tipo:
psij^* d^2 psiid x^2-psii d^2 psij^*d x^2=dd x(psij^* d psiid x-psii d psij^*d x)
A demonstração pode ser estendida para autofunções degeneradas e também para autofunções não ligadas que sejam devidamente normalizadas. Você vê como fazê-lo?

Passo 1

O enunciado trata das autofunções psii(x) e psij(x) de energia da equação de Schrödinger independente do tempo para um mesmo potencial V(x). Essas funções satisfazem
-hbar^22md^2psiidx^2+V(x),psii = Ei,psii,
-hbar^22md^2psijdx^2+V(x),psij = Ej,psij,
com Eineq Ej (caso não degenerado). Para mostrar que
integralDe<a psii^*(x),psij(x),dx = 0,
vamos usar integração por partes e as condições de contorno que anulam os termos de superfície.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger para psii e fazemos o conjugado complexo da equação para psij:
-hbar^22md^2psiidx^2+V,psii = Ei,psii,
-hbar^22md^2psij^*dx^2+V,psij^* = Ej,psij^*
Agora multiplica-se a primeira por psij^* e a segunda por psii.

Passo 3

Multiplicando e subtraindo, obtemos
-hbar^22ml(psij^*d^2psiidx^2-psiid^2psij^*dx^2r) = (Ei - Ej),psij^*,psii
Pela sugestão, o colchete pode ser escrito como derivada:
psij^*d^2psiidx^2-psiid^2psij^*dx^2 =ddxl(psij^*dpsiidx-psiidpsij^*dxr)

Passo 4

Integramos em xinDe<a:
-hbar^22mintegralDe<a ddxl(psij^*psii'-psiipsij'^*r),dx = (Ei-Ej)integralDe<a psij^*,psii,dx
O lado esquerdo transforma-se em termos de contorno avaliados em partialDe<a. Para autofunções ligadas (ou com condições que forcem psito0 nas fronteiras) esses termos desaparecem. Logo
0=(Ei-Ej)integralDe<a psij^*,psii,dx
Como Eineq Ej, segue-se que
integralDe<a psij^*(x),psii(x),dx=0

Resposta

integralDe<a psii^*(x),psij(x),dx=0

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