Prove que duas quaisquer autofunções ligadas não degeneradas diferentes,
e
, que sejam soluções da equação de Schrödinger independente do tempo para o mesmo potencial
obedecem à relação de ortogonalidade:
Sugestão: (i) Escreva as equações para as quais
e
são soluções e tome o complexo conjugado da segunda para obter a equação satisfeita por
. (ii) Multiplique a equação em
por
, e a equação em
por
e subtraia uma da outra. (iii) Integre usando uma relação do tipo:
A demonstração pode ser estendida para autofunções degeneradas e também para autofunções não ligadas que sejam devidamente normalizadas. Você vê como fazê-lo?
Passo 1
O enunciado trata das autofunções
e
de energia da equação de Schrödinger independente do tempo para um mesmo potencial
. Essas funções satisfazem
com
(caso não degenerado). Para mostrar que
vamos usar integração por partes e as condições de contorno que anulam os termos de superfície.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger para
e fazemos o conjugado complexo da equação para
:
Agora multiplica-se a primeira por
e a segunda por
.
Passo 3
Multiplicando e subtraindo, obtemos
Pela sugestão, o colchete pode ser escrito como derivada:
Passo 4
Integramos em
:
O lado esquerdo transforma-se em termos de contorno avaliados em
. Para autofunções ligadas (ou com condições que forcem
nas fronteiras) esses termos desaparecem. Logo
Como
, segue-se que