Encontre as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral 1x^2(x^2+1) d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular integral 1x^2(x^2+1),dx usando substituição trigonométrica.

Passo 2

Como temos x^2+1, fazemos x=tantheta. Assim, dx=sec^2theta,dtheta e x^2+1=sec^2theta.

Passo 3

Substituindo no integrando temos:
1x^2(x^2+1),dx =1tan^2thetacdotsec^2theta;sec^2theta,dtheta =1tan^2theta,dtheta =cot^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica cot^2theta=csc^2theta-1. Então
integralcot^2theta,dtheta =integral(csc^2theta-1),dtheta = -cottheta - theta + C

Passo 5

Voltando para x, temos cottheta=1/tantheta=1/x e theta=arctan x.
Portanto,
-cottheta - theta + C = -1x - arctan x + C

Resposta

-\tfrac{1}{x} - \arctan x + C

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