Uma função f(x, y) tem, no ponto (1,2), derivada direcional igual a +2 , na direção do vetor (2,2), e igual a -2 , na direção do vetor (1,-1). Determine o gradiente de f em (1,2). Determine a derivada direcional de f em (1,2) na direção do vetor (4,6).

Passo 1

O enunciado pede para achar o gradiente de f em (1,2) e depois a derivada direcional nessa mesma ponto, usando as derivadas direcionais dadas nas direções (2,2) e (1,−1). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, e precisaremos usar a relação Duf(1,2)=nabla f(1,2)cdot u, onde u é um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores unitários das direções fornecidas. Para o vetor (2,2) temos
u1=(2,2)raiz2^2+2^2=(2,2)raiz8=(2,2)2raiz2
Para o vetor (1,-1) temos
u2=(1,-1)raiz1^2+(-1)^2=(1,-1)raiz2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
  1. Na direção de u1:
nabla f(1,2)cdot u1=2
ou seja
nabla f(1,2)cdot(2,2)=2raiz8=4raiz2
  1. Na direção de u2:
nabla f(1,2)cdot u2=-2
ou seja
nabla f(1,2)cdot(1,-1)=-2raiz2

Passo 4

Chamando nabla f(1,2)=(a,b), temos o sistema:
2a+2b=4raiz2, a-b=-2raiz2
Somando as equações (ou resolvendo por substituição) chega-se a:
a=0, b=2raiz2
Logo nabla f(1,2)=(0,2raiz2).

Passo 5

Por fim, para a direção (4,6) fazemos o vetor unitário
u3=(4,6)raiz4^2+6^2=(4,6)raiz52=(4,6)2raiz13
E a derivada direcional é
Du3f(1,2)=nabla f(1,2)cdot u3 =(0,2raiz2)cdot(4,6)2raiz13 =12raiz22raiz13 =6raiz2raiz13

Resposta

nabla f(1,2)=(0,2raiz2) e a derivada direcional na direção de (4,6) é 6raiz2/raiz13.

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