Uma função
tem, no ponto
, derivada direcional igual a +2 , na direção do vetor
, e igual a -2 , na direção do vetor
. Determine o gradiente de
em
. Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o gradiente de f em (1,2) e depois a derivada direcional nessa mesma ponto, usando as derivadas direcionais dadas nas direções (2,2) e (1,−1). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente, e precisaremos usar a relação
, onde
é um vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores unitários das direções fornecidas. Para o vetor
temos
Para o vetor
temos
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
- Na direção de
:
ou seja
- Na direção de
:
ou seja
Passo 4
Chamando
, temos o sistema:
Somando as equações (ou resolvendo por substituição) chega-se a:
Logo
.
Passo 5
Por fim, para a direção
fazemos o vetor unitário
E a derivada direcional é