Encontre as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral 3 x^2(9-x^2)^32 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral 3 x^2(9 - x^2)^3/2,dx. O conteúdo principal é integração por substituição trigonométrica, pois aparece uma expressão do tipo raiza^2 - x^2. Vamos usar a substituição x = 3sintheta.

Passo 2

Fazendo x = 3sintheta, temos dx = 3costheta,dtheta. Além disso calculamos:
9 - x^2 = 9 - 9sin^2theta = 9cos^2theta,
(9 - x^2)^3/2 = (9cos^2theta)^3/2 = 27cos^3theta,
3x^2,dx = 3cdot(9sin^2theta)cdot(3costheta,dtheta)=81sin^2thetacostheta,dtheta
A integral transforma-se em:
integral 3x^2(9 - x^2)^3/2,dx = integral 81sin^2thetacostheta27cos^3theta,dtheta = integral 3tan^2theta,dtheta

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica tan^2theta = sec^2theta - 1, temos:
integral 3tan^2theta,dtheta = 3integral(sec^2theta - 1),dtheta = 3(tantheta - theta) + C

Passo 4

Para voltar à variável x, note que sintheta = x/3. Num triângulo com hipotenusa 3 e cateto oposto x, o cateto adjacente é raiz9 - x^2. Assim obtém-se:
tantheta = xraiz9 - x^2, theta = arcsinl(x3r)

Passo 5

A primitiva em função de theta é F(theta)=3tantheta-3theta+C. Substituindo as expressões acima, chegamos à antiderivada em x.

Resposta

3xraiz9 - x^2 ; - ; 3arcsinl(tfracx3r) + C

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