Questão 1 Um bloco de massa 1 Kg é preso a uma mola cuja constante elástica é 5 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A mola está conectada em uma parede vertical, e o bloco pode mover-se horizontalmente. Uma pessoa movimenta o bloco 1 m para a frente, esticando a mola de sua posição de equilíbrio, e o bloco é solto desta posição. Ao mover-se, o bloco experimenta uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade, dada por \mathbf{f}=-4 \mathbf{v}. Encontre a posição do bloco x(t) em qualquer instante de tempo t>0.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa do bloco: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=5\\ \mathrm{N/m}.
  • Força de amortecimento proporcional à velocidade: \mathbf{f}=-4\mathbf{v}. Isso indica que o coeficiente de amortecimento é c=4 (unidade \mathrm{N\,s/m}).
  • O bloco é deslocado 1\\ \mathrm{m} a partir da posição de equilíbrio e então solto. Isso fornece as condições iniciais: posição inicial x(0)=1 e, por “solto”, velocidade inicial x'(0)=0.
  • Pergunta: encontre a posição x(t) do bloco para todo t>0.

Passo 2

Modelagem física com uma equação diferencial: usar a segunda lei de Newton para o movimento horizontal do bloco. As forças horizontais são:
  • força da mola: -k x (tende a puxar o bloco de volta ao equilíbrio);
  • força de amortecimento: -c x' com c=4.
Aplicando m x'' = soma das forças:
m x'' = -c x' - k x.
Substituindo m=1, c=4 e k=5 obtemos a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
x'' + 4x' + 5x = 0.
Explicação didática: aqui x(t) é a posição do bloco em relação à posição de equilíbrio; x' é a velocidade; x'' é a aceleração. O termo 4x' representa a perda de energia por amortecimento (proporcional à velocidade) e o termo 5x é a restauração pela mola.

Passo 3

Resolver a equação homogênea por método padrão (equação característica). Assumimos solução do tipo x(t)=e^{rt}. A equação característica é
r^2 + 4r + 5 = 0.
Calculemos as raízes usando a fórmula quadrática:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot 1\cdot 5}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2}.
Como \sqrt{-4}=2i, obtemos
r = -2 \pm i.

Passo 4

Interpretação e forma geral da solução: raízes complexas conjugadas -2 \pm i indicam movimento oscilatório com amortecimento exponencial. A solução geral para esse caso é
x(t) = e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Explicação didática: e^{-2t} é o fator de decaimento (amortecimento) que reduz a amplitude ao longo do tempo; \cos t e \sin t descrevem a oscilação com frequência angular \omega=1 (rad/s). O movimento é portanto subamortecido (oscilações amortecidas).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Usando x(0)=1:
x(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Logo
C_1 = 1.
Agora calculamos x'(t) para usar x'(0)=0. Derivando
x(t) = e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
usamos a regra do produto:
x'(t)=e^{-2t}\Big[-2\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + \big(-C_1\sin t + C_2\cos t\big)\Big].
Avalie em t=0:
x'(0)=e^{0}\Big[-2\big(C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0\big) + \big(-C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1\big)\Big] = -2C_1 + C_2.
Usando x'(0)=0 e C_1=1:
0 = -2\cdot 1 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2.

Passo 6

Substituindo as constantes na solução geral, obtemos a posição completa:
x(t) = e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big),\qquad t>0.
Comentário físico curto: a amplitude das oscilações decai como e^{-2t} e a parte oscilatória tem frequência angular 1 rad/s. Se quiser, pode-se reescrever em forma de amplitude e fase: existe A>0 e \varphi tais que x(t)=A e^{-2t}\cos(t-\varphi), mas a forma com \cos e \sin já é a mais direta para aplicar condições iniciais.

Resposta

x(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)

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