Questão 1 Um bloco de massa 1 Kg é preso a uma mola cuja constante elástica é
. A mola está conectada em uma parede vertical, e o bloco pode mover-se horizontalmente. Uma pessoa movimenta o bloco 1 m para a frente, esticando a mola de sua posição de equilíbrio, e o bloco é solto desta posição. Ao mover-se, o bloco experimenta uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade, dada por
. Encontre a posição do bloco
em qualquer instante de tempo
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Massa do bloco:
. - Constante elástica da mola:
. - Força de amortecimento proporcional à velocidade:
. Isso indica que o coeficiente de amortecimento é (unidade ). - O bloco é deslocado
a partir da posição de equilíbrio e então solto. Isso fornece as condições iniciais: posição inicial e, por “solto”, velocidade inicial . - Pergunta: encontre a posição
do bloco para todo .
Passo 2
Modelagem física com uma equação diferencial: usar a segunda lei de Newton para o movimento horizontal do bloco. As forças horizontais são:
- força da mola:
(tende a puxar o bloco de volta ao equilíbrio); - força de amortecimento:
com .
Aplicando
soma das forças:
Substituindo
,
e
obtemos a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes:
Explicação didática: aqui
é a posição do bloco em relação à posição de equilíbrio;
é a velocidade;
é a aceleração. O termo
representa a perda de energia por amortecimento (proporcional à velocidade) e o termo
é a restauração pela mola.
Passo 3
Resolver a equação homogênea por método padrão (equação característica). Assumimos solução do tipo
. A equação característica é
Calculemos as raízes usando a fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Passo 4
Interpretação e forma geral da solução: raízes complexas conjugadas
indicam movimento oscilatório com amortecimento exponencial. A solução geral para esse caso é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Explicação didática:
é o fator de decaimento (amortecimento) que reduz a amplitude ao longo do tempo;
e
descrevem a oscilação com frequência angular
(rad/s). O movimento é portanto subamortecido (oscilações amortecidas).
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para achar
e
.
Usando
:
Logo
Agora calculamos
para usar
. Derivando
usamos a regra do produto:
Avalie em
:
Usando
e
:
Passo 6
Substituindo as constantes na solução geral, obtemos a posição completa:
Comentário físico curto: a amplitude das oscilações decai como
e a parte oscilatória tem frequência angular
rad/s. Se quiser, pode-se reescrever em forma de amplitude e fase: existe
e
tais que
, mas a forma com
e
já é a mais direta para aplicar condições iniciais.