Encontre os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \operatorname{sen} x}{x^{2}+5}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x\,\operatorname{sen} x}{x^{2}+5}.
  • Informação disponível: a função \operatorname{sen} x (seno) é limitada, isto é, para todo x vale -1 \le \operatorname{sen} x \le 1.
  • Objetivo: decidir se o limite existe e, se existir, encontrar seu valor.

Passo 2

Princípio matemático que vamos usar (explicadinho): o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”).
  • Esse teorema diz: se para todas as x numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto) vale g(x) \le f(x) \le h(x),e se \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,então também \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Aqui é útil porque sabemos que o seno está preso entre -1 e 1, então podemos “apertar” a função entre duas que têm limite conhecido.

Passo 3

Aplicando a ideia de limites absolutos e a desigualdade do seno.
  • Como -1 \le \operatorname{sen} x \le 1, vale também |\operatorname{sen} x|\le 1.
  • Portanto, para todo x, \left|\frac{x\,\operatorname{sen} x}{x^{2}+5}\right| \le \frac{|x|}{x^{2}+5}.(Isto elimina problemas de sinal, pois trabalhamos com o módulo.)

Passo 4

Simplificar a majorante e estudar seu limite.
  • Para x>0 (e para x\to\infty podemos considerar x positivos suficientemente grandes) temos |x|=x e então \frac{|x|}{x^{2}+5}=\frac{x}{x^{2}+5}=\frac{1}{x+\dfrac{5}{x}}.
  • Observe que para x>0 vale x+\dfrac{5}{x}\ge x, logo 0 \le \frac{1}{x+\dfrac{5}{x}} \le \frac{1}{x}.
  • E sabemos que \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.Assim a majorante \dfrac{|x|}{x^{2}+5} tende a 0 quando x\to\infty.

Passo 5

Concluir pelo Teorema do Confronto.
  • Temos para x suficientemente grande -\frac{|x|}{x^{2}+5}\le \frac{x\,\operatorname{sen} x}{x^{2}+5}\le \frac{|x|}{x^{2}+5},e já mostramos que \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{|x|}{x^{2}+5}=0.
  • Pelo Teorema do Confronto, isso implica \lim_{x\to\infty}\frac{x\,\operatorname{sen} x}{x^{2}+5}=0.

Resposta

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