Encontre os seguintes limites, caso existam.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - Informação disponível: a função
(seno) é limitada, isto é, para todo vale . - Objetivo: decidir se o limite existe e, se existir, encontrar seu valor.
Passo 2
Princípio matemático que vamos usar (explicadinho): o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”).
- Esse teorema diz: se para todas as
numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto) vale e se então também . - Aqui é útil porque sabemos que o seno está preso entre
e , então podemos “apertar” a função entre duas que têm limite conhecido.
Passo 3
Aplicando a ideia de limites absolutos e a desigualdade do seno.
- Como
, vale também . - Portanto, para todo
, (Isto elimina problemas de sinal, pois trabalhamos com o módulo.)
Passo 4
Simplificar a majorante e estudar seu limite.
- Para
(e para podemos considerar positivos suficientemente grandes) temos e então - Observe que para
vale , logo - E sabemos que
Assim a majorante tende a quando .
Passo 5
Concluir pelo Teorema do Confronto.
- Temos para
suficientemente grande e já mostramos que . - Pelo Teorema do Confronto, isso implica