Encontre os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin x-1}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{\sin x - 1}{x^{2}+x-2}
do conteúdo de limites, usando continuidade de \sin x e análise de zero no denominador.

Passo 2

Fatoramos o denominador para entender onde ele se anula:
x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2).

Passo 3

Avaliamo-nos os limites das partes isoladas quando x\to1:
– Numerador:
\lim_{x\to1}(\sin x - 1) = \sin(1) - 1,
que é um número não nulo (aproximadamente -0,1585).
– Denominador:
\lim_{x\to1}(x-1)(x+2) = 0\cdot 3 = 0.

Passo 4

Como o numerador tende a um valor diferente de zero e o denominador tende a zero, o quociente diverge. Para ver o sinal:
– Se x\to1^+, então x-1>0 e x+2>0, logo o denominador é positivo, e como \sin(1)-1<0, o quociente \to -\infty.
– Se x\to1^-, então x-1<0 e x+2>0, logo o denominador é negativo, e como \sin(1)-1<0, o quociente \to +\infty.

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{x\to1^-}\frac{\sin x - 1}{x^{2}+x-2} = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}\frac{\sin x - 1}{x^{2}+x-2} = -\infty.

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