Encontre os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{3 x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{3x-3}.
Isso é um caso de indeterminação \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração e simplificação algébrica para resolver.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), \quad 3x-3=3(x-1).

Passo 3

Para x\neq1, podemos cancelar o fator comum (x-1):
\frac{x^3-1}{3x-3} =\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{3(x-1)} =\frac{x^2+x+1}{3}.

Passo 4

A expressão \tfrac{x^2+x+1}{3} é contínua em x=1, então basta substituir:
\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{3} =\frac{1^2+1+1}{3} =\frac{3}{3} =1.

Resposta

1

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