Prove o seguinte limite usando a definição \epsilon, \delta :
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}-4 x+5\right)=1

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, usando a definição de limite ε–δ, que
\lim_{x\to2}\bigl(x^{2}-4x+5\bigr)=1.
O conteúdo é a definição formal de limite de função real num ponto, e vamos precisar mostrar que para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x-2|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|f(x)-1\bigr|<\epsilon,
onde f(x)=x^{2}-4x+5.

Passo 2

Escrevemos a condição que queremos satisfazer: dado \epsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-2|<\delta,
ocorra
\bigl|f(x)-1\bigr|<\epsilon.

Passo 3

Calculamos a diferença
\bigl|f(x)-1\bigr| =\bigl|\,x^{2}-4x+5-1\bigr| =\bigl|\,x^{2}-4x+4\bigr| =\bigl|(x-2)^{2}\bigr| =|x-2|^{2}.

Passo 4

Para garantir |x-2|^{2}<\epsilon, basta exigir
|x-2|<\sqrt{\epsilon}.
Portanto, a escolha natural é \delta = \sqrt{\epsilon}.
Assim, sempre que 0<|x-2|<\delta, temos
\bigl|f(x)-1\bigr| = |x-2|^{2} < \delta^{2} = \epsilon.

Passo 5

Como mostramos que, para cada \epsilon>0, basta tomar \delta=\sqrt{\epsilon} para garantir \bigl|f(x)-1\bigr|<\epsilon sempre que 0<|x-2|<\delta, concluímos pela definição formal que
\lim_{x\to2}\bigl(x^{2}-4x+5\bigr)=1.

Resposta

Para todo \epsilon>0, escolhendo \delta=\sqrt{\epsilon} satisfazemos
0<|x-2|<\delta \;\Longrightarrow\; \bigl|x^{2}-4x+5-1\bigr| = |x-2|^{2} < \epsilon,
logo o limite é 1.

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