Encontre os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\bigr).
Estamos diante de uma forma do tipo \infty-\infty, então uma estratégia clássica é usar a racionalização com o conjugado.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada \sqrt{9x^{2}+x}+3x:
\sqrt{9x^{2}+x}-3x =\frac{\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\bigr)\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}+3x\bigr)} {\sqrt{9x^{2}+x}+3x} =\frac{9x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} =\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.

Passo 3

Para simplificar ainda mais, dividimos numerador e denominador por x (que é positivo quando x\to+\infty):
\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} =\frac{x}{x\bigl(\sqrt{9+\tfrac1x}+3\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{9+\tfrac1x}+3}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite quando x\to+\infty. Temos \tfrac1x\to0, então
\sqrt{9+\tfrac1x}+3\;\longrightarrow\;\sqrt{9}+3=3+3=6
e
\frac{1}{\sqrt{9+\tfrac1x}+3}\;\longrightarrow\;\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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