Encontre os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n}\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n}\quad\text{quando }n\to+\infty.
Este é um problema de limites de sequências racionais. Para resolver, vamos usar a ideia de dividir numerador e denominador por n e lembrar que \lim_{n\to+\infty}1/n=0.

Passo 2

Reescrevemos cada fração isolando o termo 1/n:
\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{n}},
\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}.

Passo 3

Como \lim_{n\to+\infty}\tfrac{1}{n}=0, temos
\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+0} = 1,
\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n} = 1 + 0 = 1.

Passo 4

Aplicando que o limite da diferença é a diferença dos limites:
\lim_{n\to+\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n}\Bigr) = 1 - 1 = 0.

Resposta

0

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