Encontre os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \frac{2^{n}+(-1)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}
quando n\to+\infty. O conteúdo usado aqui é o de limites de sequência, em que identificamos o termo de maior ordem (aqui 2^n) e verificamos que os outros termos ficam desprezíveis para n grande.

Passo 2

Vamos fatorar 2^n no numerador e no denominador para evidenciar os termos que somem a algo que tende a zero. Temos
a_n = \frac{2^n\bigl(1 + \tfrac{(-1)^n}{2^n}\bigr)}{2^{n+1}\bigl(1 + \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\bigr)} = \frac{2^n}{2^{n+1}}\;\frac{1 + \tfrac{(-1)^n}{2^n}}{1 + \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}} = \frac{1}{2}\;\frac{1 + \tfrac{(-1)^n}{2^n}}{1 + \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}.

Passo 3

Note que \tfrac{(-1)^n}{2^n}\to0 e \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\to0 quando n\to+\infty, pois 2^n cresce exponencialmente e “domina” o termo oscilante (-1)^n.

Passo 4

Substituindo esses termos nulos no resultado do Passo 2, obtemos
\lim_{n\to+\infty}a_n = \frac{1}{2}\;\frac{1+0}{1+0} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

Exercícios relacionados