Use a definição de limite para verificar que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{n+1}=1 e que \lim _{n \rightarrow+\infty} a^{n}=0 se 0<a<1.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de limite de sequência (definição ε–N) para mostrar dois resultados:
  1. \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1.
  2. \lim_{n\to+\infty}a^n=0 quando 0<a<1.
Para isso, vamos lembrar a definição:
“Uma sequência (x_n) converge a L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que |x_n-L|<\varepsilon sempre que n\ge N.”
Em cada caso, calculamos |x_n-L| e escolhemos N em função de \varepsilon.

Passo 2

Prova de \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Queremos, dado \varepsilon>0, achar N tal que
\Bigl|\frac{n}{n+1}-1\Bigr|<\varepsilon \quad\text{para todo }n\ge N.
Primeiro, manipulamos a diferença:
\Bigl|\frac{n}{n+1}-1\Bigr| =\Bigl|\frac{n-(n+1)}{n+1}\Bigr| =\frac{1}{n+1}.
Então basta ter
\frac{1}{n+1}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n+1>\frac1\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac1\varepsilon-1.
Escolhemos, por exemplo,
N = \bigl\lceil\tfrac1\varepsilon\bigr\rceil,
pois para todo n\ge N vale n+1\ge N\ge1/\varepsilon, logo 1/(n+1)\le\varepsilon. Assim, satisfazemos a definição e concluímos que a sequência tende a 1.

Passo 3

Prova de \lim_{n\to+\infty}a^n=0 para 0<a<1.
Queremos, dado \varepsilon>0, achar N tal que
|a^n-0|<\varepsilon \quad\text{para todo }n\ge N.
Como a^n>0, isso é
a^n<\varepsilon.
Se \varepsilon\ge1, basta tomar N=1 porque a^n\le a<1\le\varepsilon.
Se 0<\varepsilon<1, note que \ln a<0 e \ln\varepsilon<0. Tomando logaritmo natural em ambos os lados de a^n<\varepsilon, obtemos
n\ln a<\ln\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{\ln\varepsilon}{\ln a},
onde \ln\varepsilon/\ln a>0. Então escolhemos
N = \Bigl\lceil\frac{\ln\varepsilon}{\ln a}\Bigr\rceil
para garantir n\ge N\implies a^n\le\varepsilon. Isso mostra que a^n\to0.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \displaystyle\lim_{n\to+\infty}a^n=0 quando 0<a<1.

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