Encontre as seguintes primitivas:
integral d xraiza^2+b^2 x^2

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
integral dxraiza^2+b^2x^2,
que é um clássico de integração envolvendo raízes quadráticas. Vamos usar substituição hiperbólica para transformar essa integral numa forma mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = absinh t,
de modo que
dx = abcosh t,dt e raiza^2+b^2x^2 =raiza^2+b^2l(absinh tr)^2 =raiza^2(1+sinh^2t) =acosh t

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral dxraiza^2+b^2x^2 =integral abcosh t,dtacosh t =1bintegral dt

Passo 4

A integral de dt é imediata:
1bintegral dt = tb + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Como x = tfracabsinh t, temos
t = arcsinh!l(b xar)
Portanto a primitiva fica
1b,arcsinh!l(b xar)+C

Passo 6

Opcionalmente, usando a identidade arcsinh(u)=ln!l(u+raiz1+u^2r), podemos reescrever
arcsinh!l(b xar) =ln!l(b xa+raiz1+b^2x^2a^2r) =ln!l(,b x+raiza^2+b^2x^2,r)-ln a
Como -tfrac1bln a é constante, a forma equivalente é
1bln!l|b x+raiza^2+b^2x^2r|+C

Resposta

integral dxraiza^2+b^2x^2 =1b,arcsinh!l(b xar)+C ou 1bln!l|b x+raiza^2+b^2x^2r|+C

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