Encontre as seguintes primitivas:
integral d xx raiz1+ln x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
integral dxxraiz1+ln x
O conteúdo aqui é integração por substituição, já que vemos a combinação ln x dentro da raiz e um fator 1/x fora, o que indica usar u=1+ln x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + ln x
Diferenciando, temos
du = dxx

Passo 3

Em função de u, o integrando fica
dxxraiz1+ln x = duraizu = integral u^-tfrac12,du
Agora aplicamos a regra da potência para primitiva de u^-tfrac12.

Passo 4

A integral de u^-tfrac12 é
integral u^-tfrac12,du = 2,u^tfrac12 + C
Voltando a x, temos u^tfrac12 = raiz1+ln x.

Resposta

A primitiva geral é
2raiz1+ln x + C

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