Q 152 Identificando a indeterminação, calcule cada limite abaixo usando a regra de L’Hôspital.
(a) lim x 0 -5 x+5 sen(x)2 x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0-5x+5sin(x)2x^3
usando a regra de L’H^opital. O conteúdo é limites com forma indeterminada tfrac00.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=0 diretamente:
-5cdot0+5sin(0)=0, 2cdot0^3=0,
logo é tfrac00 e podemos aplicar L’H^opital, derivando numerador e denominador.

Passo 3

Derivando uma vez,
num: (-5x+5sin x)' = -5+5cos x, den: (2x^3)' = 6x^2
O limite vira
limxto0-5+5cos x6x^2,
que é de novo tfrac00 (pois cos0=1), permitindo nova aplicação da regra.

Passo 4

Derivamos pela segunda vez:
num: (-5+5cos x)' = -5sin x, den: (6x^2)' = 12x
Agora o limite é
limxto0-5sin x12x,
que ainda dá tfrac00, então aplicamos L’H^opital mais uma vez.

Passo 5

Derivando pela terceira vez:
num: (-5sin x)' = -5cos x, den: (12x)' = 12
Assim o limite final é
limxto0-5cos x12 = -5cdot112 = -512

Resposta

-512

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