Considere a função
, definida para
, e seja
sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de
?
b) Sabendo-se que
, calcule
.
a) Qual o domínio e qual a imagem de
b) Sabendo-se que
Passo 1
O enunciado dá a função
e define
como a inversa de
. Pede-se:
a) o domínio e a imagem de , considerando que o domínio de
é a imagem de
e vice-versa;
b) a derivada , sabendo-se que
e usando a fórmula da derivada da função inversa.
a) o domínio e a imagem de
b) a derivada
Passo 2
Para achar a imagem de
(que será o domínio de
) observamos que
é uma parábola com vértice em
. Calculamos
Como a concavidade é para cima e o domínio é
, a imagem de
é
.
Passo 3
Logo, trocando domínio e imagem para a inversa
, temos:
domínio de
imagem de .
domínio de
imagem de
Passo 4
Para a derivada da inversa vale a fórmula
Aqui
Passo 5
Como
, substituímos
em
:
portanto
Resposta
a)
,
.
b) .
b)