Considere a função y=f(x)=x^2-x-2, definida para x >= 1 / 2, e seja x=g(y) sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de g ?
b) Sabendo-se que g(-2)=1, calcule g^prime(-2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-x-2, x>= tfrac12,
e define g como a inversa de f. Pede-se:
a) o domínio e a imagem de g, considerando que o domínio de g é a imagem de f e vice-versa;
b) a derivada g'(-2), sabendo-se que g(-2)=1 e usando a fórmula da derivada da função inversa.

Passo 2

Para achar a imagem de f (que será o domínio de g) observamos que f é uma parábola com vértice em x=tfrac12. Calculamos
fl(tfrac12r)=l(tfrac12r)^2-tfrac12-2 =tfrac14-tfrac12-2 =-tfrac94
Como a concavidade é para cima e o domínio é [tfrac12,infty), a imagem de f é l[-tfrac94,inftyr).

Passo 3

Logo, trocando domínio e imagem para a inversa g, temos:
domínio de g = l[-tfrac94,inftyr)
imagem de g = [tfrac12,infty).

Passo 4

Para a derivada da inversa vale a fórmula
g'(y)=1f'l(g(y)r)
Aqui
f'(x)=2x-1

Passo 5

Como g(-2)=1, substituímos x=g(-2)=1 em f'(x):
f'(1)=2cdot1-1=1,
portanto
g'(-2)=1f'(1)=11=1

Resposta

a) Dom,g=l[-tfrac94,inftyr), Im,g=[tfrac12,infty).
b) g'(-2)=1.

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