Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo F.
(a) (0,5) Mostre que os autovalores de um operador nilpotente são todos nulos. ( T é um operador nilpotente sobre V se existe r inteiro tal que T^r=0 ).
(b) (1,2) Seja T um operador linear sobre V, tal que posto (T)=1. Usando o item a), mostre que se T não é nilpotente, então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço vetorial V de dimensão finita sobre um corpo F e pede dois itens.
(a) Mostrar que, se T:Vto V é nilpotente (isto é, existe inteiro r>0 tal que T^r=0), então todos os autovalores de T são nulos.
(b) Mostrar que, se T é um operador linear de posto 1 que não é nilpotente, então T é diagonalizável.
Vamos usar a definição de autovalor/autovetor, o teorema do posto-nulidade e a ideia de mínima polinômio para concluir a diagonalização.

Passo 2

Seja lambdain F um autovalor de T nilpotente e vneq0 um autovetor associado, isto é,
T(v)=lambda,v
Aplicando T^r em v obtemos
T^r(v)=underbraceTl(T^r-1(v)r)=0=0,
por nilpotência, mas também
T^r(v)=lambda^r,v
Assim lambda^r,v=0 e como vneq0 segue lambda^r=0. No corpo F isso implica lambda=0. Logo, todos os autovalores de T são zero.

Passo 3

Agora seja T:Vto V de posto 1. Então diml(Im Tr)=1, logo existe um vetor uneq0 em Im T tal que Im T = F,u.
Para qualquer vin V, T(v)inIm T e portanto existe funcional linear phi:Vto F com
T(v)=phi(v),u
Aplicando T de novo,
T^2(v)=Tl(phi(v),ur)=phi(v),T(u)=phi(v),phi(u),u
Logo
T^2=phi(u),T

Passo 4

A relação T^2=phi(u),T mostra que T satisfaz o polinômio
x^2-phi(u),x=0,
isto é, o polinômio mínimo de T divide x(x-phi(u)).
  • Se phi(u)=0, então T^2=0, isto é, T é nilpotente.
  • Se phi(u)neq0, então o polinômio mínimo de T é exatamente x(x-phi(u)), cujas raízes 0 e phi(u) são distintas. Polinômios mínimos sem fator duplo equivalem a operadores diagonalizáveis. Portanto, neste caso T é diagonalizável.
Como a hipótese do item (b) é que T não é nilpotente, concluímos phi(u)neq0 e portanto T é diagonalizável.

Resposta

(a) Demonstramos que, se T^r=0, então todo autovalor lambda satisfaz lambda^r=0 e assim lambda=0.
(b) Um operador de posto 1 satisfaz T^2=phi(u),T. Se não é nilpotente, phi(u)neq0 e o polinômio mínimo é x(x-phi(u)) com raízes simples, logo T é diagonalizável.

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