Encontre a segunda derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=e^x^3+1;
(b) g(x)=cos (x)e^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada de duas funções: (a) f(x)=e^x^3+1 e (b) g(x)=cos(x)e^2x. O conteúdo envolve regra da cadeia, produtos e quocientes de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Para f(x)=e^x^3+1, aplicamos primeiro a regra da cadeia. A derivada interna de x^3+1 é 3x^2. Logo,
f'(x)=e^x^3+1cdot 3x^2=3x^2e^x^3+1

Passo 3

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=3x^2e^x^3+1 usando a regra do produto entre 3x^2 e e^x^3+1. Temos:
f''(x)=ddx(3x^2)cdot e^x^3+1+3x^2cdotddxl(e^x^3+1r)

Passo 4

Como tfracddx(3x^2)=6x e novamente pela cadeia tfracddx(e^x^3+1)=e^x^3+1cdot3x^2, segue
f''(x)=6x,e^x^3+1+3x^2l(3x^2e^x^3+1r)=(6x+9x^4)e^x^3+1.

Passo 5

Para g(x)=tfraccos xe^2x, é mais tranquilo reescrever como produto:
g(x)=cos x,e^-2x.

Passo 6

A derivada primeira é produto de cos x por e^-2x:
g'(x)=-sin x,e^-2x+cos x,(-2e^-2x)=e^-2x(-sin x-2cos x).

Passo 7

Para g''(x), derivamos g'(x)=e^-2x(-sin x-2cos x) via produto entre e^-2x e -sin x-2cos x.
g''(x)=(-2e^-2x)(-sin x-2cos x)+e^-2x(-cos x+2sin x)

Passo 8

Simplificando e agrupando termos dentro de e^-2x resulta
g''(x)=e^-2xl(2sin x+4cos x-cos x+2sin xr)=e^-2x(4sin x+3cos x).

Resposta

f''(x)=(6x+9x^4)e^x^3+1 e g''(x)=e^-2x(4sin x+3cos x).

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