Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
f(x, y)=x^3 y^2 ; 5 x+y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função sujeito à restrição . Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar uma função com uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador, geralmente representado por L(x, y, lambda) = x^3 y^2 + lambda (9 - 5x - y^2) . Então, a função de Lagrange fica:
Aqui, reescrevemos a restrição como .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a partial Lpartial x = 3x^2 y^2 - 5lambda = 0 , partial Lpartial y = 2x^3 y - 2lambda y = 0 e partial Lpartial lambda = 9 - 5x - y^2 = 0 , e igualar cada uma a zero. Isso porque estamos procurando pontos onde a função atinge extremos sob a restrição.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
3x^2 y^2 = 5lambda (1)
Da segunda equação, podemos fatorar:
2y(x^3 - lambda) = 0
Então, temos duas possibilidades: ou .

Passo 5

Primeiro, consideramos 5x = 9 implies x = 95 . Substituindo na restrição :
Então, temos um ponto crítico: .

Passo 6

Agora, consideramos 3x^2 y^2 = 5x^3 implies 3y^2 = 5x . Substituindo na equação (1):
y^2 = 5x3 (2)
Então, temos:

Passo 7

Substituímos a equação (2) na restrição 5x + 5x3 = 9 implies 15x + 5x3 = 9 implies 20x3 = 9 :
x = 9 times 320 = 2720
Resolvendo para y^2 = 5 times 27203 = 13560 = 94 implies y = pm 32 :
Então, substituindo na equação (2):
Então, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 8

Agora, vamos avaliar a função f( 95, 0 ) = ( 95 )^3 times 0^2 = 0 em cada ponto crítico para encontrar os valores máximos e mínimos.
Para f( 2720, 32 ) = ( 2720 )^3 times ( 32 )^2 = 196838000 times 94 = 17714732000 approx 5,5365 :
f( 2720, -32 ) = ( 2720 )^3 times ( -32 )^2 = 196838000 times 94 = 17714732000 approx 5,5365
Para :
Para :

Resposta

Os valores máximos da função sujeitos à restrição são aproximadamente nos pontos e . O valor mínimo é no ponto .

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