Utilize o métodos dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeito à restrição dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
sujeito à restrição
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar uma função com uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador, geralmente representado por
. Então, a função de Lagrange fica:
Aqui, reescrevemos a restrição
como
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualar cada uma a zero. Isso porque estamos procurando pontos onde a função atinge extremos sob a restrição.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação, podemos fatorar:
Então, temos duas possibilidades:
ou
.
Passo 5
Primeiro, consideramos
. Substituindo na restrição
:
Então, temos um ponto crítico:
.
Passo 6
Agora, consideramos
. Substituindo na equação (1):
Então, temos:
Passo 7
Substituímos a equação (2) na restrição
:
Resolvendo para
:
Então, substituindo
na equação (2):
Então, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 8
Agora, vamos avaliar a função
em cada ponto crítico para encontrar os valores máximos e mínimos.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores máximos da função
sujeitos à restrição
são aproximadamente
nos pontos
e
. O valor mínimo é
no ponto
.