Determine a derivada da função:
y=e^cos ^2(raizx^2+1)

Passo 1

Temos a função y = e^cos^2(raizx^2+1). O conteúdo aqui é derivada de funções compostas, pois temos uma exponencial que envolve um quadrado de cosseno que, por sua vez, envolve uma raiz. Vamos usar a regra da cadeia em três níveis.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos as funções aninhadas:
u(x) = cos^2l(v(x)r),
v(x) = raizx^2+1 e
y = e^u(x). Assim,
dydx = dydu cdot dudv cdot dvdx

Passo 3

Calculando dydu: como y = e^u, temos
dydu = e^u

Passo 4

Calculando dudv: como u = [cos(v)]^2, usamos a derivada de um quadrado e a derivada do cosseno:
dudv = 2cos(v) cdot l(-sin(v)r) = -2cos(v)sin(v)

Passo 5

Calculando dvdx: como v = (x^2+1)^1/2, temos
dvdx = 12(x^2+1)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2+1

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
dydx = e^u cdot l(-2cos(v)sin(v)r) cdot xraizx^2+1
Basta substituir u = cos^2(raizx^2+1) e v = raizx^2+1 para concluir.

Passo 7

Fazendo a substituição final, obtemos a derivada da função:

Passo 8

dydx = -2,xraizx^2+1,e^cos^2(raizx^2+1),cosl(raizx^2+1r),sinl(raizx^2+1r)

Resposta

dydx = -2,xraizx^2+1,e^cos^2(raizx^2+1),cosl(raizx^2+1r),sinl(raizx^2+1r)

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