Encontre a segunda derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=cos (x^2+1);
(b) g(x)=xe^2 x.

Passo 1

O enunciado pede pra achar a segunda derivada de duas funções: (a) f(x)=cos(x^2+1) e (b) g(x)=x e^-2x. Vamos usar a regra da cadeia para (a) e a regra do produto + regra da cadeia para (b).

Passo 2

Pra (a), defina u(x)=x^2+1, assim f(x)=cos(u). Pela regra da cadeia:
f'(x) = -sin(u) cdot u'(x) = -sin(x^2+1) cdot 2x = -2xsin(x^2+1)

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=-2xsin(x^2+1) usando produto e cadeia:
O primeiro termo dá -2sin(x^2+1).
O segundo termo é -2x) vezes a derivada de sin(x^2+1), que é cos(x^2+1)cdot2x.
Somando:
f''(x) = -2sin(x^2+1) -2x cdot (2xcos(x^2+1)) = -2sin(x^2+1) -4x^2cos(x^2+1)

Passo 4

Pra (b), temos g(x)=x e^-2x. Pela regra do produto:
g'(x) = 1cdot e^-2x + xcdot (-2e^-2x) = e^-2x -2x e^-2x = e^-2x(1-2x)

Passo 5

Derivamos g'(x)=e^-2x(1-2x) de novo por produto:
  • Derivada de e^-2x é -2e^-2x vezes (1-2x).
  • Mais e^-2x vezes a derivada de (1-2x), que é (-2).
    Logo
g''(x) = -2e^-2x(1-2x) + e^-2x(-2) = e^-2x[-2(1-2x)-2] = e^-2x(4x-4) = 4(x-1)e^-2x

Resposta

f''(x) = -2sin(x^2+1) - 4x^2cos(x^2+1), g''(x) = 4(x-1)e^-2x.

Exercícios relacionados