encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula como ensinada.
9 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y_{1}=e^{2 x / 3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma segunda solução para a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9\,y'' - 12\,y' + 4\,y = 0
sabendo que uma solução já é y_{1} = e^{2x/3}. Vamos usar redução de ordem para obter y_{2}.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma padrão
y'' - \tfrac{4}{3}\,y' + \tfrac{4}{9}\,y = 0,
onde p(x) = -\tfrac{4}{3}. A fórmula de redução de ordem diz que
y_{2} = y_{1}\,\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos
\int p(x)\,dx = \int -\tfrac{4}{3}\,dx = -\tfrac{4}{3}\,x,
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e^{-\int p(x)\,dx} = e^{4x/3}.
O integrando fica
\frac{e^{4x/3}}{\bigl(e^{2x/3}\bigr)^{2}} = 1,
e
\int 1\,dx = x.
Portanto
y_{2} = y_{1}\cdot x = x\,e^{2x/3}.

Resposta

A segunda solução independente é y_{2} = x\,e^{2x/3}.

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