encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula como ensinada.
x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}+16 y=0 ; \quad y_{1}=x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Euler
x^{2}y''-7x\,y'+16y=0
e já fornece uma solução y_{1}(x)=x^{4}. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}(x).

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0
dividindo tudo por x^{2}:
y''-\frac{7}{x}y'+\frac{16}{x^{2}}y=0.
Assim, identificamos
P(x)=-\frac{7}{x}.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, dada uma solução y_{1}(x), a segunda pode ser escrita como
y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\displaystyle\int P(x)\,dx}}{[y_{1}(x)]^{2}} \,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro
\int P(x)\,dx = \int\!-\frac{7}{x}\,dx = -7\ln|x| \quad\Longrightarrow\quad e^{-\int P\,dx} =e^{7\ln|x|} =|x|^{7}.
Como estamos numa equação de Euler, tomamos x>0 e e^{-\int P\,dx}=x^{7}. Então
\frac{e^{-\int P\,dx}}{[y_{1}(x)]^{2}} =\frac{x^{7}}{(x^{4})^{2}} =\frac{x^{7}}{x^{8}} =x^{-1},
e
\int x^{-1}\,dx =\ln|x|.
Logo,
y_{2}(x) = x^{4}\ln|x|.

Passo 5

As funções y_{1}(x)=x^{4} e y_{2}(x)=x^{4}\ln|x| são linearmente independentes (por exemplo, o wronskiano não se anula). Portanto, y_{2}(x) é a segunda solução buscada.

Resposta

A segunda solução é
y_{2}(x)=x^{4}\ln|x|.

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