encontre uma segunda solução da EDO linear de
ordem, a partir da solução dada, isto é, use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma solução conhecida. Escrevo aqui, de forma clara, o que foi dado e o que é pedido:
- Equação diferencial:
. - Solução conhecida:
. - Pedido: encontrar uma segunda solução linearmente independente de
usando o método da redução de ordem.
Passo 2
Ideia do método (explicada com calma): suponha que a segunda solução tenha a forma
onde
é uma função desconhecida. A razão para essa escolha é que multiplicando a solução conhecida por uma função
e substituindo na EDO, conseguimos reduzir a ordem da equação para encontrar
. Aqui
é a solução buscada,
é a nova função que vamos determinar e
é a solução conhecida (
).
Passo 3
Calcule as derivadas de
. Vou fazer passo a passo e explicar cada termo:
- Derivada primeira:
Aqui
significa
e
significa
.
- Derivada segunda:
Expliquei: aplicamos a regra do produto duas vezes (produto de
por
).
Passo 4
Substitua
,
e
na EDO
. Fazendo isso obtemos:
Agora uso a informação crucial:
é solução da EDO, ou seja satisfaz
. Assim
e os termos com
cancelam:
Isso simplifica bastante a equação para
.
Passo 5
Reduzimos a ordem definindo
. Então
. Substituindo na equação anterior:
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
. Reescrevo em forma separável:
Integro ambos os lados em
:
O lado esquerdo dá
. O lado direito dá
mais constante. Portanto
Aqui
é uma constante arbitrária. Em geral podemos escolher
para encontrar uma solução particular; multiplicar por constante depois gera dependência linear com a constante.
Passo 6
Agora integramos para obter
:
Observação prática importante: o termo constante
multiplicado por
dá
, que é apenas um múltiplo da solução conhecida
. Como queremos uma segunda solução linearmente independente, tomamos a parte da integral (ou seja escolhemos
) e podemos também fixar
para simplificar. Então usamos
Finalmente a segunda solução será
Esta é uma fórmula geral do método de redução de ordem.
Passo 7
Aplique a fórmula ao caso
. Primeiro escrevo
:
Repare que
. Ou seja,
Como expliquei antes, pego a primitiva sem a constante que geraria múltiplos de
. Logo escolho
Então
Simplificando usando
, obtemos
Passo 8
Verificação rápida e comentário final (didático): podemos checar que
realmente satisfaz a EDO:
Além disso
e
são linearmente independentes (por exemplo o Wronskiano
, diferente de zero), então
é de fato uma segunda solução válida.