encontre uma segunda solução da EDO linear de 2^{\underline{a}} ordem, a partir da solução dada, isto é, use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução.
y^{\prime \prime}-y=0, \quad y_{1}=\operatorname{cosh} x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma solução conhecida. Escrevo aqui, de forma clara, o que foi dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-y=0.
  • Solução conhecida: y_{1}=\operatorname{cosh} x.
  • Pedido: encontrar uma segunda solução linearmente independente de y_{1} usando o método da redução de ordem.

Passo 2

Ideia do método (explicada com calma): suponha que a segunda solução tenha a forma
y(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função desconhecida. A razão para essa escolha é que multiplicando a solução conhecida por uma função u e substituindo na EDO, conseguimos reduzir a ordem da equação para encontrar u. Aqui y é a solução buscada, u é a nova função que vamos determinar e y_{1} é a solução conhecida ( \operatorname{cosh} x).

Passo 3

Calcule as derivadas de y=u\,y_{1}. Vou fazer passo a passo e explicar cada termo:
  • Derivada primeira:
y' = u'\,y_{1} + u\,y_{1}'.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e y_{1}' significa \dfrac{dy_{1}}{dx}.
  • Derivada segunda:
y'' = u''\,y_{1} + 2u'\,y_{1}'+ u\,y_{1}''.
Expliquei: aplicamos a regra do produto duas vezes (produto de u por y_{1}).

Passo 4

Substitua y, y' e y'' na EDO y''-y=0. Fazendo isso obtemos:
u''\,y_{1} + 2u'\,y_{1}' + u\,y_{1}'' - u\,y_{1} = 0.
Agora uso a informação crucial: y_{1} é solução da EDO, ou seja satisfaz y_{1}''-y_{1}=0. Assim y_{1}''-y_{1}=0 e os termos com u cancelam:
u''\,y_{1} + 2u'\,y_{1}' = 0.
Isso simplifica bastante a equação para u.

Passo 5

Reduzimos a ordem definindo w=u'. Então w' = u''. Substituindo na equação anterior:
w'\,y_{1} + 2w\,y_{1}' = 0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para w. Reescrevo em forma separável:
\frac{w'}{w} = -2\frac{y_{1}'}{y_{1}}.
Integro ambos os lados em x:
\int \frac{w'}{w}\,dx = -2\int \frac{y_{1}'}{y_{1}}\,dx.
O lado esquerdo dá \ln|w|. O lado direito dá -2\ln|y_{1}| mais constante. Portanto
\ln|w| = -2\ln|y_{1}| + C \quad\Rightarrow\quad w = u' = \frac{C_{1}}{y_{1}^{2}}.
Aqui C_{1} é uma constante arbitrária. Em geral podemos escolher C_{1}=1 para encontrar uma solução particular; multiplicar por constante depois gera dependência linear com a constante.

Passo 6

Agora integramos para obter u:
u(x) = \int u'(x)\,dx = \int \frac{C_{1}}{y_{1}^{2}(x)}\,dx + C_{2}.
Observação prática importante: o termo constante C_{2} multiplicado por y_{1} C_{2}y_{1}, que é apenas um múltiplo da solução conhecida y_{1}. Como queremos uma segunda solução linearmente independente, tomamos a parte da integral (ou seja escolhemos C_{2}=0) e podemos também fixar C_{1}=1 para simplificar. Então usamos
u(x)=\int \frac{1}{y_{1}^{2}(x)}\,dx.
Finalmente a segunda solução será
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{1}{y_{1}^{2}(x)}\,dx.
Esta é uma fórmula geral do método de redução de ordem.

Passo 7

Aplique a fórmula ao caso y_{1}=\operatorname{cosh} x. Primeiro escrevo 1/y_{1}^{2}:
\frac{1}{y_{1}^{2}(x)}=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}x}.
Repare que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tanh} x = \dfrac{1}{\operatorname{cosh}^{2}x}. Ou seja,
\int \frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}x}\,dx = \operatorname{tanh} x + \text{const}.
Como expliquei antes, pego a primitiva sem a constante que geraria múltiplos de y_{1}. Logo escolho
u(x)=\operatorname{tanh} x.
Então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\,u(x)=\operatorname{cosh} x\cdot \operatorname{tanh} x.
Simplificando usando \operatorname{tanh} x=\dfrac{\operatorname{sinh} x}{\operatorname{cosh} x}, obtemos
y_{2}(x)=\operatorname{sinh} x.

Passo 8

Verificação rápida e comentário final (didático): podemos checar que \operatorname{sinh} x realmente satisfaz a EDO:
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\operatorname{sinh} x - \operatorname{sinh} x = \operatorname{sinh} x - \operatorname{sinh} x = 0.
Além disso \operatorname{cosh} x e \operatorname{sinh} x são linearmente independentes (por exemplo o Wronskiano W(\operatorname{cosh},\operatorname{sinh})=\operatorname{cosh}\cdot\operatorname{cosh} - \operatorname{sinh}\cdot\operatorname{sinh} = 1, diferente de zero), então \operatorname{sinh} x é de fato uma segunda solução válida.

Resposta

y_{2}=\operatorname{sinh} x

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