resolva o PVI, se uma solução
da EDO é dada.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. Dados e perguntas fornecidos:
- Equação diferencial:
- Foi dada uma solução conhecida:
. - Condições iniciais:
e .
A tarefa é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Observação útil para simplificar: a equação diferencial não envolve
(aparece apenas
e
). Isso significa que podemos reduzir a ordem definindo uma nova função igual à derivada de
. Defina
. Assim
. Substituindo na equação original obtemos uma equação de primeira ordem para
:
Agora o problema passou a ser resolver essa equação de primeira ordem para
e depois integrar para obter
. Vou usar o método do fator integrante (método padrão para equações lineares de primeira ordem) porque a equação está na forma linear homogênea
.
Passo 3
Resolver
com fator integrante. Colocando na forma padrão:
O fator integrante
é
. Calcule a integral:
Portanto
Logo o fator integrante é
Como as condições iniciais estão em
e trabalhamos num intervalo em que
perto de zero, podemos usar
(sem o valor absoluto). Multiplicando a equação por
obtemos:
O lado esquerdo é a derivada de
, então
Integrando:
onde
é constante. Assim
Passo 4
Use a condição inicial
para determinar
. Avaliando em
:
Como
, temos
. Portanto
Passo 5
Agora integramos para obter
:
onde
é constante de integração. Precisamos calcular
. Vou fazer isso passo a passo (método por partes), porque é um antiderivado clássico que vale memorizarmos.
Considere
. Escreva
e aplique integração por partes tomando
Então
Aplicando a fórmula
:
Simplifique o integrando:
Use a identidade trigonométrica
:
Agora junte os termos com
para o mesmo lado:
Sabemos que
. Assim
Portanto, escolhendo uma primitiva particular (absorvendo constantes na constante
final),
Passo 6
Então a solução geral integrando é
Use a condição inicial
para achar
. Avaliando em
:
portanto
Como
, obtemos
. Assim a solução do PVI é
Passo 7
Checagem rápida (opcional, só pra garantir): podemos derivar
e então
Substituindo na equação original:
confirmando que a solução satisfaz a EDO e as condições iniciais.