resolva o PVI, se uma solução y_{1}(x) da EDO é dada.
y^{\prime \prime}-3(\tan x) y^{\prime}=0 ; \quad y_{1}(x)=1 ; \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=6

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pelas condições iniciais. Dados e perguntas fornecidos:
  • Equação diferencial: y'' - 3(\tan x)\,y' = 0.
  • Foi dada uma solução conhecida: y_{1}(x)=1.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=6.
    A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Observação útil para simplificar: a equação diferencial não envolve y (aparece apenas y' e y''). Isso significa que podemos reduzir a ordem definindo uma nova função igual à derivada de y. Defina p(x)=y'(x). Assim p'(x)=y''(x). Substituindo na equação original obtemos uma equação de primeira ordem para p:
p' - 3(\tan x)\,p = 0.
Agora o problema passou a ser resolver essa equação de primeira ordem para p e depois integrar para obter y. Vou usar o método do fator integrante (método padrão para equações lineares de primeira ordem) porque a equação está na forma linear homogênea \,p' + a(x)p = 0.

Passo 3

Resolver p' - 3(\tan x)\,p = 0 com fator integrante. Colocando na forma padrão:
p' + \bigl(-3\tan x\bigr)p = 0.
O fator integrante \mu(x) é \exp\!\bigl(\int -3\tan x\,dx\bigr). Calcule a integral:
\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|.
Portanto
\int -3\tan x\,dx = -3\bigl(-\ln|\cos x|\bigr)=3\ln|\cos x|.
Logo o fator integrante é
\mu(x)=\exp\bigl(3\ln|\cos x|\bigr)=|\cos x|^{3}.
Como as condições iniciais estão em x=0 e trabalhamos num intervalo em que \cos x>0 perto de zero, podemos usar \mu(x)=\cos^{3}x (sem o valor absoluto). Multiplicando a equação por \cos^{3}x obtemos:
\cos^{3}x\,p' - 3\cos^{3}x(\tan x)\,p = 0.
O lado esquerdo é a derivada de \cos^{3}x\cdot p, então
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{3}x\cdot p\bigr)=0.
Integrando:
\cos^{3}x\cdot p = C,
onde C é constante. Assim
p(x)=y'(x)=C\operatorname{sec}^{3}x.

Passo 4

Use a condição inicial \,y'(0)=6 para determinar C. Avaliando em x=0:
y'(0)=C\operatorname{sec}^{3}0 = C\cdot 1 = C.
Como y'(0)=6, temos C=6. Portanto
y'(x)=6\operatorname{sec}^{3}x.

Passo 5

Agora integramos para obter y(x):
y(x)=\int y'(x)\,dx = \int 6\operatorname{sec}^{3}x\,dx = 6\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + D,
onde D é constante de integração. Precisamos calcular \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx. Vou fazer isso passo a passo (método por partes), porque é um antiderivado clássico que vale memorizarmos.
Considere \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx. Escreva \operatorname{sec}^{3}x=\operatorname{sec} x\cdot \operatorname{sec}^{2}x e aplique integração por partes tomando
u=\operatorname{sec} x,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então
du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx,\qquad v=\tan x.
Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Simplifique o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x\tan^{2}x\,dx.
Use a identidade trigonométrica \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,dx
= \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Agora junte os termos com \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx para o mesmo lado:
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Sabemos que \int \operatorname{sec} x\,dx = \ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + \text{constante}. Assim
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + \text{constante}.
Portanto, escolhendo uma primitiva particular (absorvendo constantes na constante D final),
\int 6\operatorname{sec}^{3}x\,dx = 6\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec} x + \tan x|\right) = 3\operatorname{sec} x\tan x + 3\ln|\operatorname{sec} x + \tan x|.

Passo 6

Então a solução geral integrando é
y(x)=3\operatorname{sec} x\tan x + 3\ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + D.
Use a condição inicial \,y(0)=2 para achar D. Avaliando em x=0:
\operatorname{sec} 0 = 1,\quad \tan 0 = 0,\quad \ln|\operatorname{sec} 0 + \tan 0|=\ln 1 = 0,
portanto
y(0)=3\cdot 1\cdot 0 + 3\cdot 0 + D = D.
Como y(0)=2, obtemos D=2. Assim a solução do PVI é
y(x)=3\operatorname{sec} x\tan x + 3\ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + 2.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, só pra garantir): podemos derivar
y'(x)=6\operatorname{sec}^{3}x
e então
y''(x)=6\cdot 3\operatorname{sec}^{3}x\tan x = 18\operatorname{sec}^{3}x\tan x.
Substituindo na equação original:
y'' - 3\tan x\,y' = 18\operatorname{sec}^{3}x\tan x - 3\tan x\cdot 6\operatorname{sec}^{3}x = 0,
confirmando que a solução satisfaz a EDO e as condições iniciais.

Resposta

y(x)=3\operatorname{sec} x\tan x + 3\ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + 2

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