Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
x^2(ln (x)-1) y^prime prime-x y^prime+y=0, y1=x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma segunda solução da EDO homogênea de 2ª ordem
x^2(ln x -1),y'' - x,y' + y = 0
sabendo que uma solução é y1=x. O conteúdo que vamos usar é redução de ordem para EDOs lineares homogêneas de 2ª ordem.

Passo 2

Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
Dividindo tudo por x^2(ln x -1), obtemos
y'' - 1x(ln x -1),y' + 1x^2(ln x -1),y = 0
Logo
P(x) = -1x(ln x -1)

Passo 3

Para usar redução de ordem, aplicamos a fórmula
y2(x) = y1(x) integral e^- integral P(x),dxy1(x)^2,dx
Precisamos então calcular
e^-integral P(x),dx = expl(-integral -1x(ln x -1),dxr) = expl(integral 1x(ln x -1),dxr)
Fazendo a substituição u=ln x -1, du=dx/x, a integral vira integral du/u = ln|u|. Portanto
e^-integral P,dx = ln x - 1

Passo 4

Agora calculamos
integral e^-integral P,dxy1^2,dx = integral ln x - 1x^2,dx
Separamos em duas integrais:
integral ln xx^2,dx - integral 1x^2,dx
Para integral ln xx^2dx usamos partes com
u=ln x, dv=x^-2dx, resultando em
integral ln xx^2dx = -ln xx - 1x + C
Subtraindo integral x^-2dx = -1/x, obtemos
integral ln x - 1x^2dx = -ln xx

Passo 5

Finalmente,
y2(x) = x times l(-ln xxr) = -ln x
Como a solução pode ser multiplicada por constante, podemos tomar
y2(x) = ln x

Resposta

y_{2}(x) = \ln x

Exercícios relacionados