Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma segunda solução da EDO homogênea de 2ª ordem
sabendo que uma solução é
. O conteúdo que vamos usar é redução de ordem para EDOs lineares homogêneas de 2ª ordem.
Passo 2
Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo tudo por
, obtemos
Logo
Passo 3
Para usar redução de ordem, aplicamos a fórmula
Precisamos então calcular
Fazendo a substituição
,
, a integral vira
. Portanto
Passo 4
Agora calculamos
Separamos em duas integrais:
Para
usamos partes com
,
, resultando em
Subtraindo
, obtemos
Passo 5
Finalmente,
Como a solução pode ser multiplicada por constante, podemos tomar
Resposta
y_{2}(x) = \ln x