Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
. Estamos tratando de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis e já conhecemos uma solução
. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(assumindo
):
Em seguida definimos
, reduzindo o problema a uma EDO de primeira ordem para
.
Passo 3
A EDO para
fica:
Essa é separável, basta reescrever
Integrando ambos os lados, obtemos
Passo 4
Voltando a
, temos
. Integramos em relação a
:
Isso mostra que as soluções gerais são combinações lineares de
e
.
Passo 5
Já que
, a segunda solução fundamental, linearmente independente, pode ser escolhida como
.
Resposta
y_2(x) = x^2