Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
x y^prime prime-y^prime=0, y1=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO x,y''-y'=0. Estamos tratando de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis e já conhecemos uma solução y1(x)=1. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar y2.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo por x (assumindo xneq0):
y'' - 1x,y' = 0
Em seguida definimos u(x)=y'(x), reduzindo o problema a uma EDO de primeira ordem para u.

Passo 3

A EDO para u fica:
u' - 1x,u = 0
Essa é separável, basta reescrever
u'u = 1x
Integrando ambos os lados, obtemos
u(x) = C,x

Passo 4

Voltando a y, temos y' = u = Cx. Integramos em relação a x:
y(x) = integral Cx,dx = C2x^2 + D
Isso mostra que as soluções gerais são combinações lineares de 1 e x^2.

Passo 5

Já que y1(x)=1, a segunda solução fundamental, linearmente independente, pode ser escolhida como y2(x)=x^2.

Resposta

y_2(x) = x^2

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