Resolva as equações abaixo.
y^prime prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações de coeficientes constantes e condições iniciais
Vamos precisar montar a equação característica, achar suas raízes, escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação diferencial é
y''+4y=0
Assumimos uma solução da forma y=e^rt, o que leva à equação característica
r^2+4=0

Passo 3

Resolvendo a equação característica, temos
r^2=-4
o que dá raízes complexas
r=2ie r=-2i
Para raízes pm iomega com omega=2, a solução geral é
y(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0)=Acos0+Bsin0=A=0,
logo A=0.

Passo 5

Em seguida, derivamos y(t):
y'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)
Aplicando y'(0)=2, obtemos
y'(0)=2B=2implies B=1

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é y(t)=sin(2t).

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