Encontre as soluções gerais, assumindo x>0 e c1, c2 constantes.
2 x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
2x²y’’ – x y’ + y = 0 com x>0. Esse tipo de equação admite solução da forma y=xʳ, e vamos usar essa hipótese para encontrar os valores de r.

Passo 2

Supondo y=xʳ, temos as derivadas
y' = r x^r-1,
$$y’’ = r(r-1)x^{r-2}.
y'' = r(r-1)x^r-2 çã2x2igl(r(r-1)x{r-2}\bigr)
  • xigl(r x^{r-1}\bigr)
  • x^r = 0.
$$

Passo 3

Fatorando x^r em cada termo, chegamos à equação característica
$$2r(r-1) - r + 1 = 0,
2r(r-1) - r + 1 = 0, 2r^2 - 3r + 1 = 0.
$$

Passo 4

Resolvendo 2r²-3r+1=0 pelo método da fórmula de Bhaskara, obtemos
$$r = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4},
$$
logo r₁=1 e r₂=1/2.

Passo 5

Como as raízes são r₁=1 e r₂=1/2 e x>0, a solução geral é combinação linear das potências xʳ:
$$y(x) = c_1 x^{1} + c_2 x^{1/2}.
$$

Resposta

y(x) = c_{1} x + c_{2} x^{1/2}

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