Encontre as soluções gerais, assumindo
e
constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
2x²y’’ – x y’ + y = 0 com x>0. Esse tipo de equação admite solução da forma y=xʳ, e vamos usar essa hipótese para encontrar os valores de r.
2x²y’’ – x y’ + y = 0 com x>0. Esse tipo de equação admite solução da forma y=xʳ, e vamos usar essa hipótese para encontrar os valores de r.
Passo 2
Supondo y=xʳ, temos as derivadas
$$y’’ = r(r-1)x^{r-2}.
- xigl(r x^{r-1}\bigr)
- x^r = 0.
$$
Passo 3
Fatorando x^r em cada termo, chegamos à equação característica
$$2r(r-1) - r + 1 = 0,
$$
Passo 4
Resolvendo 2r²-3r+1=0 pelo método da fórmula de Bhaskara, obtemos
$$r = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4},
$$
logo r₁=1 e r₂=1/2.
logo r₁=1 e r₂=1/2.
Passo 5
Como as raízes são r₁=1 e r₂=1/2 e x>0, a solução geral é combinação linear das potências xʳ:
$$y(x) = c_1 x^{1} + c_2 x^{1/2}.
$$
Resposta
y(x) = c_{1} x + c_{2} x^{1/2}