Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
A equação é
Vamos usar teoria de EDOs lineares: primeiro a solução da parte homogênea e depois soluções particulares pelo método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos a equação característica
Fatorando, obtemos
Assim, a solução homogênea é
onde
são constantes de integração.
Passo 3
Para o termo
usamos coeficientes indeterminados. Como
é raiz simples da característica, multiplicamos a forma usual por
e supomos
$$y_{p1} = (Ax^2 + Bx)e^{-x}.
$$
Precisamos que
$$(D^3 - D)igl[(Ax^2 + Bx)e^{-x}\bigr] = x e^{-x}.
$$
Aplicando o deslocamento de operador, chega-se a
$$(D^3 - D)igl(P(x)e^{-x}\bigr) = e{-x}[D3 - 3D^2 + 2D]P(x).
$$
Para
temos
,
,
, logo
$$[D^3 - 3D^2 + 2D]P = 4Ax + 2B - 6A.
$$
Igualando a
obtemos
de onde
,
. Portanto
$$y_{p1} = \Bigl(\tfrac14 x^2 + \tfrac34 x\Bigr)e^{-x}.
$$
Passo 4
Para o termo
supomos
$$y_{p2} = M\cos x + N\sin x.
$$
Então
Logo
$$y’’’{p2} - y’{p2} = ( -y’{p2}) - y’{p2} = 2M\sin x - 2N\cos x.
$$
Igualando a
dá
,
, ou seja
,
. Assim
$$y_{p2} = -\sin x.
$$
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com as soluções particulares:
$$y(x) = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 + C_2 e^x + C_3 e^{-x} + \Bigl(\tfrac14 x^2 + \tfrac34 x\Bigr)e^{-x} - \sin x.
$$