Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
y^prime prime prime-y^prime=x e^-x+2 cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo
A equação é
y''' - y' = x e^-x + 2cos x
Vamos usar teoria de EDOs lineares: primeiro a solução da parte homogênea e depois soluções particulares pelo método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^3 - r = 0
Fatorando, obtemos
r(r^2 - 1) = 0 implies r = 0, ; r = 1, ; r = -1
Assim, a solução homogênea é
yh = C1 + C2 e^x + C3 e^-x,
onde C1,C2,C3 são constantes de integração.

Passo 3

Para o termo x e^-x usamos coeficientes indeterminados. Como alpha = -1 é raiz simples da característica, multiplicamos a forma usual por x e supomos
$$y_{p1} = (Ax^2 + Bx)e^{-x}.
$$
Precisamos que
$$(D^3 - D)igl[(Ax^2 + Bx)e^{-x}\bigr] = x e^{-x}.
$$
Aplicando o deslocamento de operador, chega-se a
$$(D^3 - D)igl(P(x)e^{-x}\bigr) = e{-x}[D3 - 3D^2 + 2D]P(x).
$$
Para yp1 = (Ax^2 + Bx)e^-x temos (D^3 - D)igl[(Ax^2 + Bx)e^-xr] = x e^-x , (D^3 - D)igl(P(x)e^-xr) = e^-x[D^3 - 3D^2 + 2D]P(x) , P(x) = Ax^2 + Bx, logo
$$[D^3 - 3D^2 + 2D]P = 4Ax + 2B - 6A.
$$
Igualando a P' = 2Ax + B obtemos
P'' = 2A e P'''=0,
de onde [D^3 - 3D^2 + 2D]P = 4Ax + 2B - 6A , x. Portanto
$$y_{p1} = \Bigl(\tfrac14 x^2 + \tfrac34 x\Bigr)e^{-x}.
$$

Passo 4

Para o termo 2cos x supomos
$$y_{p2} = M\cos x + N\sin x.
$$
Então
yp2 = Mcos x + Nsin x , y'p2 = -Msin x + Ncos x, y''p2 = -Mcos x - Nsin x = -yp2.
Logo
$$y’’’{p2} - y’{p2} = ( -y’{p2}) - y’{p2} = 2M\sin x - 2N\cos x.
$$
Igualando a y'''p2 = -y'p2 y'''p2 - y'p2 = ( -y'p2) - y'p2 = 2Msin x - 2Ncos x , 2cos x, ou seja 2M = 0, -2N = 2. Assim
$$y_{p2} = -\sin x.
$$

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com as soluções particulares:
$$y(x) = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 + C_2 e^x + C_3 e^{-x} + \Bigl(\tfrac14 x^2 + \tfrac34 x\Bigr)e^{-x} - \sin x.
$$

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^-x + l(tfrac14 x^2 + tfrac34 xr)e^-x - sin x

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