Encontre uma segunda solução para a equação diferencial dada, em que
é uma solução conhecida
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem uma equação diferencial do tipo
e já sabemos que uma das soluções dessa equação é $ y_{1} = x^{4} $. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução $ y_{2} $ que também resolva essa equação. Para isso, vamos usar um método chamado redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a redução de ordem. Se conhecemos uma solução $ y_{1} $, podemos assumir que a segunda solução $ y_{2} $ tem a forma:
onde $ v(x) $ é uma função que precisamos descobrir. No nosso caso, como $ y_{1} = x^{4} $, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y_{2} $ necessárias para substituir na equação diferencial. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir $ y_{2} $, $ y_{2}’ $ e $ y_{2}’’ $ na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ x^{5} $:
Isso nos leva a uma equação diferencial mais simples para $ v $.
Passo 7
Agora, vamos fazer uma substituição para resolver essa equação. Vamos definir:
Então, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ u $.
Passo 8
Vamos resolver a equação $ u + x u’ = 0 $. Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante. A equação geral é:
O fator integrante $ \mu(x) $ é $ e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x $.
Passo 9
Multiplicando a equação por $ \mu(x) = x $:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 10
Lembrando que $ u = v’ $, temos:
Integrando novamente:
Onde $ D $ é outra constante de integração. Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar $ D = 0 $.
Passo 11
Agora, substituímos $ v $ de volta em $ y_{2} $:
Podemos absorver a constante $ C $ na solução, então temos:
Resposta
Uma segunda solução para a equação diferencial é $ y_{2} = x^{4} \ln x $.