Encontre uma segunda solução para a equação diferencial dada, em que y1 é uma solução conhecida
x^2 y^prime prime-7 x y+16 y=0 ; y1=x^4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem uma equação diferencial do tipo
x^2 y'' - 7x y' + 16 y = 0
e já sabemos que uma das soluções dessa equação é $ y_{1} = x^{4} $. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução $ y_{2} $ que também resolva essa equação. Para isso, vamos usar um método chamado redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a redução de ordem. Se conhecemos uma solução $ y_{1} $, podemos assumir que a segunda solução $ y_{2} $ tem a forma:
y1
onde $ v(x) $ é uma função que precisamos descobrir. No nosso caso, como $ y_{1} = x^{4} $, temos:
y2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y_{2} $ necessárias para substituir na equação diferencial. Primeiro, a primeira derivada:
y2
E a segunda derivada:
y2' = ddx(x^4 cdot v) = 4x^3 v + x^4 v'

Passo 4

Vamos substituir $ y_{2} $, $ y_{2}’ $ e $ y_{2}’’ $ na equação diferencial original:
y2
Simplificando cada termo:
y2'

Passo 5

Vamos juntar os termos semelhantes:
(12x^4 - 28x^4 + 16x^4)v + (8x^5 - 7x^5)v' + x^6 v'' = 0
Simplificando:
0 cdot v + x^5 v' + x^6 v'' = 0
Ou seja:
x^5 v' + x^6 v'' = 0

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ x^{5} $:
x^5
Isso nos leva a uma equação diferencial mais simples para $ v $.

Passo 7

Agora, vamos fazer uma substituição para resolver essa equação. Vamos definir:
u = v'
Então, a equação fica:
u + x u' = 0
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ u $.

Passo 8

Vamos resolver a equação $ u + x u’ = 0 $. Podemos reescrever isso como:
u + x u' = 0
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante. A equação geral é:
x u' + u = 0
O fator integrante $ \mu(x) $ é $ e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x $.

Passo 9

Multiplicando a equação por $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
Integrando ambos os lados:
x u' + u = 0 Rightarrow ddx(x u) = 0
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 10

Lembrando que $ u = v’ $, temos:
u = v'
Integrando novamente:
v' = Cx
Onde $ D $ é outra constante de integração. Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar $ D = 0 $.

Passo 11

Agora, substituímos $ v $ de volta em $ y_{2} $:
v
Podemos absorver a constante $ C $ na solução, então temos:
y2

Resposta

Uma segunda solução para a equação diferencial é $ y_{2} = x^{4} \ln x $.

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