Encontre uma segunda solução linearmente independente da solução dada:
a2 x^2 y^prime prime+a1 x y^prime+a0 y=0 ; x>0 e De<a=0 e y1=x^Omega a0, a1, a2 in R r a2 neq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
a2x^2y''+a1x,y'+a0y=0, x>0,
com De<a=0 (raiz dupla) e já fornece uma solução y1=x^Omega. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
temos
P(x)=a1a2x
A fórmula de redução de ordem diz que, se y1 é uma solução, então
y2=y1integral e^-integral P(x),dx,dxy1^2

Passo 3

Calculamos
integral P(x),dx =integral a1a2x,dx =a1a2ln x Longrightarrow e^-integral P(x),dx =x^-a1a2
Logo
y2 =x^Omegaintegral x^-a1a2,x^-2Omega,dx =x^Omegaintegral x^-l(a1a2+2Omegar),dx
Como a soma das raízes da equação característica é
r1+r2 =1-a1a2 =2Omega,
segue
-l(a1a2+2Omegar)=-1,
então o integrando é x^-1 e
integral x^-1dx=ln x
Portanto
y2=x^Omegaln x

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
y2=x^Omegaln x

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