Seja f: R^2 R diferenciável no ponto (x0, y0). Chamamos plano tangente no gráfico de f no ponto ( x0, y0, f(x0, y0) ) ao plano dado pela equação.
z-f(x0, y0)=partial fpartial x(x0, y0)(x-x0)+partial fpartial y(x0, y0)(y-y0)
Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dados nos pontos indicados.
z=raiz2 x^2+y^2 P1(0,0,0) ; P2(1,1, raiz3)

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=raiz2x^2+y^2
e queremos, nos pontos P1=(0,0,0) e P2=(1,1,raiz3), o plano tangente ao gráfico de f. Para isso usamos a fórmula do plano tangente em l(x0,y0,f(x0,y0)r):
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais gerais. Seja u(x,y)=2x^2+y^2, então f=raizu e
fx =12raizucdotpartial upartial x =12raiz2x^2+y^2cdot(4x) =2xraiz2x^2+y^2,
fy =12raizucdotpartial upartial y =12raiz2x^2+y^2cdot(2y) =yraiz2x^2+y^2

Passo 3

Em P1=(0,0) temos
fx(0,0)=2cdot 0raiz0=00, fy(0,0)=0raiz0=00,
ou seja, as parciais não existem (indeterminação) e logo f não é diferenciável em (0,0). Portanto não existe plano tangente em P1.

Passo 4

Em P2=(1,1) as derivadas valem
fx(1,1) =2cdot 1raiz2cdot1^2+1^2 =2raiz3, fy(1,1) =1raiz2cdot1^2+1^2 =1raiz3

Passo 5

Substituindo em
z - f(1,1) = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1)
e lembrando que f(1,1)=raiz3, obtemos
z - raiz3 =2raiz3,(x-1) +1raiz3,(y-1)

Resposta

Em P1 não existe plano tangente.
Em P2 o plano tangente é
z - raiz3 =2raiz3,(x-1) +1raiz3,(y-1)

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