Resolver
y \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x-x\left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx-x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dy=0.
Informações e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial implícita da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad N(x,y)=-x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).
  • A tarefa é encontrar as soluções gerais y(x) (ou uma solução implícita) que satisfaçam essa igualdade.
  • Não foi dada nenhuma condição inicial; portanto buscamos a solução geral (constante de integração).
  • Observação óbvia a partir dos termos: todas as parcelas têm grau homogêneo 2 em (x,y) (cada termo escala como t^{2} se (x,y)\mapsto(t x,t y)), então a equação é homogênea — é uma pista forte para usar a substituição y=vx.

Passo 2

Escolhemos a substituição homogênea clássica y=vx, onde v=v(x). Vou explicar por que isso ajuda:
  • Quando M e N são homogêneos do mesmo grau, a razão \dfrac{dy}{dx} pode ser reduzida a uma função de v=\dfrac{y}{x} somente, transformando a equação em uma equação para v separável em x.
    Procedo com a substituição:
y=vx\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Também, escrevo
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+v^{2}x^{2}}=|x|\sqrt{1+v^{2}}.
Para simplificar a escrita e não perder a essência, vou trabalhar no ramo onde x>0, de modo que |x|=x. (No resultado final pode-se adicionar valores absolutos se desejar cobrir x<0.)

Passo 3

Substituo y=vx e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=x\sqrt{1+v^{2}} na equação diferencial escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots.
Da equação original temos, isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)}.
Substituindo:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{(v x)\cdot\bigl(x\sqrt{1+v^{2}}\bigr)}{x\bigl(x+x\sqrt{1+v^{2}}\bigr)} =\frac{v x^{2}\sqrt{1+v^{2}}}{x^{2}\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)} =\frac{v\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Agora isolo x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}-v =v\!\left(\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}-1\right).

Passo 4

Simplifico a expressão no parêntese:
\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}-1 =\frac{\sqrt{1+v^{2}}-(1+\sqrt{1+v^{2}})}{1+\sqrt{1+v^{2}}} =\frac{-1}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Rearranjo para separar variáveis v e x:
\frac{1+\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Esta expressão é separável: o lado esquerdo depende só de v, o direito só de x.

Passo 5

Integro ambos os lados:
\int\frac{1+\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv=\int -\frac{dx}{x}.
Divido a integral esquerda em duas:
\int\frac{1}{v}\,dv+\int\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv = -\ln|x|+C.
A primeira integral é imediata:
\int\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|.
Agora precisamos calcular
I=\int\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv.
Vou fazer uma substituição hiperbólica para tornar essa integral simples: coloque v=\operatorname{sinh} t. Explico a escolha:
  • Para v=\operatorname{sinh} t vale \sqrt{1+v^{2}}=\operatorname{cosh} t e dv=\operatorname{cosh} t\,dt, o que costuma linearizar expressões com \sqrt{1+v^{2}}.
    Com isso,
I=\int\frac{\operatorname{cosh} t}{\operatorname{sinh} t}\cdot\operatorname{cosh} t\,dt=\int\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt.
Uso a identidade \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t:
\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t.
Assim
I=\int\csch t\,dt+\int\operatorname{sinh} t\,dt.
As primitivas conhecidas são
\int\operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t,\qquad \int\csch t\,dt=\ln\bigl|\operatorname{tanh}\frac{t}{2}\bigr|+C.
Voltando a v: t=\operatorname{arsinh}(v) com \operatorname{sinh} t=v e \operatorname{cosh} t=\sqrt{1+v^{2}}. Além disso
\operatorname{tanh}\frac{t}{2}=\frac{\operatorname{sinh} t}{1+\operatorname{cosh} t}=\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Portanto
I=\sqrt{1+v^{2}}+\ln\left|\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right|+C.

Passo 6

Recolocando I na integral original:
\ln|v|+\left(\sqrt{1+v^{2}}+\ln\left|\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right|\right)=-\ln|x|+C.
Agrupo os termos logarítmicos:
\sqrt{1+v^{2}}+\ln\left(|v|\cdot\left|\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right|\right)=-\ln|x|+C.
Como |v|\cdot\bigl|v/(1+\sqrt{1+v^{2}})\bigr|=\bigl|v^{2}/(1+\sqrt{1+v^{2}})\bigr|, podemos simplificar somando \ln|x| a ambos os lados para obter uma forma mais compacta. Ao somar \ln|x| e usar v=\dfrac{y}{x} obtemos uma forma muito mais simples. Faço isso explicitamente:
Adicionando \ln|x| aos dois lados:
\sqrt{1+v^{2}}+\ln\left|\frac{v^{2}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right|+\ln|x|=C.
Agora uso v=\dfrac{y}{x} e simplifico o logaritmo:
\ln\left|\frac{v^{2}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right|+\ln|x| =\ln\left|\frac{x v^{2}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right| =\ln\left|\frac{y^{2}/x}{1+\sqrt{1+(y/x)^{2}}}\right|.
Observe que 1+\sqrt{1+(y/x)^{2}}=\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}. Substituindo isso, o argumento do logaritmo simplifica para
\frac{y^{2}/x}{(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}})/x}=\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 7

Substituindo tudo de volta, obtemos finalmente uma forma implícita simples e elegante da solução geral:
\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}+\ln\left|\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|=C,
onde C é constante arbitrária. Se preferir, pode escrever o primeiro termo usando \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{|x|}+\ln\left|\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|=C.
(Lembrando que, na dedução, assumimos x>0 para dispensar |x|; ao apresentar a solução geral é prudente manter |x| para cobrir ambos os sinais de x.)

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{|x|}+\ln\!\left|\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|=C

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