É uma equação diferencial implícita da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 comM(x,y)=y\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad N(x,y)=-x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).
A tarefa é encontrar as soluções gerais y(x) (ou uma solução implícita) que satisfaçam essa igualdade.
Não foi dada nenhuma condição inicial; portanto buscamos a solução geral (constante de integração).
Observação óbvia a partir dos termos: todas as parcelas têm grau homogêneo 2 em (x,y) (cada termo escala como t^{2} se (x,y)\mapsto(t x,t y)), então a equação é homogênea — é uma pista forte para usar a substituição y=vx.
Passo 2
Escolhemos a substituição homogênea clássica y=vx, onde v=v(x). Vou explicar por que isso ajuda:
Quando M e N são homogêneos do mesmo grau, a razão \dfrac{dy}{dx} pode ser reduzida a uma função de v=\dfrac{y}{x} somente, transformando a equação em uma equação para v separável em x.
Procedo com a substituição:
Para simplificar a escrita e não perder a essência, vou trabalhar no ramo onde x>0, de modo que |x|=x. (No resultado final pode-se adicionar valores absolutos se desejar cobrir x<0.)
Passo 3
Substituo y=vx e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=x\sqrt{1+v^{2}} na equação diferencial escrita na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots.
Da equação original temos, isolando \dfrac{dy}{dx},
Vou fazer uma substituição hiperbólica para tornar essa integral simples: coloque v=\operatorname{sinh} t. Explico a escolha:
Para v=\operatorname{sinh} t vale \sqrt{1+v^{2}}=\operatorname{cosh} t e dv=\operatorname{cosh} t\,dt, o que costuma linearizar expressões com \sqrt{1+v^{2}}.
Com isso,
Como |v|\cdot\bigl|v/(1+\sqrt{1+v^{2}})\bigr|=\bigl|v^{2}/(1+\sqrt{1+v^{2}})\bigr|, podemos simplificar somando \ln|x| a ambos os lados para obter uma forma mais compacta. Ao somar \ln|x| e usar v=\dfrac{y}{x} obtemos uma forma muito mais simples. Faço isso explicitamente: