Encontre
Sejam \vec{u}=(1,-2,3), \quad \vec{v}=(-3,-1,3), \quad \vec{w}=(a,-1, b), \vec{x}=(3, c, 2) ;
Encontre
a) \vec{w}=\frac{1}{2} \vec{u},
b) \vec{w}+\vec{v}=\vec{u},
c) \vec{w}+\vec{x}=\vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,-2,3), \vec{v}=(-3,-1,3), \vec{w}=(a,-1,b) e \vec{x}=(3,c,2),
e pede, em cada caso, encontrar os parâmetros de \vec{w} (e eventualmente de \vec{x}) de modo que se cumpram as igualdades vetoriais indicadas. Vamos resolver componente a componente, usando que dois vetores são iguais se, e somente se, suas coordenadas correspondentes são iguais.

Passo 2

Para (a) queremos
\vec{w} \;=\;\tfrac12\,\vec{u}.
Primeiro calculamos \tfrac12\,\vec{u}:
\tfrac12\,\vec{u} =\tfrac12\,(1,-2,3) =\bigl(\tfrac12,-1,\tfrac32\bigr).
Como \vec{w}=(a,-1,b), igualamos coordenada a coordenada:
a=\tfrac12,\quad -1=-1,\quad b=\tfrac32.

Passo 3

Para (b) queremos
\vec{w}+\vec{v}=\vec{u},
ou seja
\vec{w} = \vec{u}-\vec{v} =(1,-2,3)-(-3,-1,3).
Calculando a diferença coordenada a coordenada:
1-(-3)=4,\quad -2-(-1)=-1,\quad 3-3=0.
Logo
\vec{w}=(4,-1,0),
e, comparando com (a,-1,b), obtemos
a=4,\quad b=0.

Passo 4

Para (c) queremos
\vec{w}+\vec{x}=\vec{v},
ou seja
\vec{w} = \vec{v}-\vec{x} =(-3,-1,3)-(3,c,2).
Subtraindo coordenada a coordenada:
-3-3=-6,\quad -1-c,\quad 3-2=1.
Logo
\vec{w}=(-6,\,-1-c,\,1).
Como \vec{w}=(a,-1,b), igualamos a segunda coordenada:
-1-c=-1\quad\Longrightarrow\quad c=0.
E das outras coordenadas extraímos
a=-6,\quad b=1.

Resposta

(a) a=\tfrac12,\;b=\tfrac32.
(b) a=4,\;b=0.
(c) a=-6,\;b=1,\;c=0.

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