Parametrize o círculo de interseção das esferas \mathcal{S}((1,2,2), 2) e \mathcal{S}((3,4,4), 4)

Passo 1

O enunciado dá duas esferas
\mathcal{S}_1:\;|X-(1,2,2)|=2, \quad \mathcal{S}_2:\;|X-(3,4,4)|=4
e pede a parametrização do círculo C=\mathcal{S}_1\cap\mathcal{S}_2.
Para isso vamos (a) achar o plano que contém C, (b) determinar o centro e o raio de C, e (c) escolher dois vetores ortonormais nesse plano para montar a parametrização.

Passo 2

Subtraindo as equações
|X-(3,4,4)|^2 - |X-(1,2,2)|^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12
expandindo e simplificando, chega-se ao plano
(1,1,1)\cdot X = 5.
Logo C está no plano x+y+z=5, cuja normal é
n = (1,1,1).

Passo 3

O centro O do círculo é a projeção de C_1=(1,2,2) nesse plano. Como
(1,2,2)\text{ satisfaz }1+2+2=5,
a projeção cai em C_1 mesmo, ou seja
O = (1,2,2).
A distância do centro de \mathcal{S}_1 ao plano é zero, então o raio do círculo é
\rho = \sqrt{2^2 - 0^2} = 2.

Passo 4

Precisamos de dois vetores ortonormais u,v no plano x+y+z=5. Tomemos primeiro um vetor perpendicular a n, por ex.
u_0 = (1,-1,0),
e normalizamos:
u = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,-1,0).
Em seguida definimos
n̂ = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1), \quad v = n̂ \times u = \frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,1,-2).
Então \{u,v\} é base ortonormal do plano.

Passo 5

A parametrização do círculo C com parâmetro t\in[0,2\pi) é
X(t) \;=\; O \;+\;\rho\bigl(\cos t\,u + \sin t\,v\bigr).
Em coordenadas,
\boxed{ X(t) = (1,2,2) \;+\; 2\Bigl[ \cos t\,\frac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}} \;+\; \sin t\,\frac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}} \Bigr]. }

Resposta

X(t) = (1,2,2) +2\Bigl[\cos t\,\tfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}} +\sin t\,\tfrac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}\Bigr], \quad t\in[0,2\pi).

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