Parametrize a parábola contida no plano \Pi de equação
5 x-y+3 z+10=0
e que possui foco no ponto F=(0,10,0) e que tem como diretriz a reta que passa pelos pontos (-2,0,0) e (-1,2,-1). Além disso, determine sen eixo focal.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a parábola contida no plano
\Pi:5x-y+3z+10=0
que tem foco em
F=(0,10,0)
e diretriz a reta que passa por
P_1=(-2,0,0),\quad P_2=(-1,2,-1).
Também queremos a equação do eixo focal.
Conteúdo usado: definição de parábola como o lugar geométrico de pontos equidistantes de um foco e de uma reta (diretriz), cálculo de distância ponto-reta, produto vetorial para achar direção de eixo, e mudança para um sistema de coordenadas convenientemente alinhado para obter a parametrização padrão.
Passo 2
Primeiro, encontramos a direção da diretriz e a normal do plano.
A direção da reta é
d=P_2-P_1=(1,2,-1),
e a normal de \Pi é
n=(5,-1,3).
O eixo focal é a reta em \Pi que passa por F e é perpendicular à diretriz, logo sua direção w satisfaz w\perp d e w\perp n. Assim
Agora montamos um sistema de coordenadas (u,v) no plano \Pi com origem em V, eixo u na direção unitária de w, e eixo v na direção unitária de d. Em tais coordenadas a reta diretriz fica
u=-p,\quad p>0,
e o foco em
(u,v)=(p,0).
O valor de p é
p=\frac{35}{\sqrt{210}}.
Nesse sistema a parábola tem a equação padrão
u=\frac{v^2}{4p}.
Passo 5
Voltando ao espaço, seja t\in\mathbb{R} o parâmetro tal que v=t. Então