Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta. \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}
está (a) na forma escalonada por linhas (REF), (b) na forma escalonada reduzida por linhas (RREF), ou (c) em nenhuma das duas.
Informações dadas: a única informação é a matriz A acima. Não há outras condições adicionais.]
Passo 2
Vou explicar com calma o que significa cada forma (isso é importante para você reconhecer na prova).
Definição intuitiva de forma escalonada por linhas (REF):
Cada linha nula (se houver) aparece abaixo de todas as linhas não nulas.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento diferente de zero (chamado de “entrada principal” ou “leading entry”) fica mais à direita do que a entrada principal da linha imediatamente acima. Em outras palavras, os índices das entradas principais aumentam estritamente quando descemos as linhas.
Todas as entradas abaixo de uma entrada principal são zeros (ou seja, cada entrada principal tem zeros abaixo dela).
Observação sobre “entrada principal”: para uma linha, é o primeiro elemento não nulo lido da esquerda para a direita.
Passo 3
Definição de forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
A matriz está em REF e, além disso,
Cada entrada principal vale 1.
Cada entrada principal é a única entrada não nula em sua coluna (ou seja, todos os outros elementos na coluna da entrada principal são zero).
Em palavras: RREF = REF + entradas principais iguais a 1 + cada coluna de uma entrada principal tem zeros em todas as posições, exceto na própria entrada principal.
Passo 4
Agora identifiquemos as entradas principais da matriz dada, linha a linha.
Linha 1 de A é \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo, olhando da esquerda para a direita, é o 1 que está na coluna 2. Logo a entrada principal da linha 1 está na coluna 2 e tem valor 1.
Linha 2 de A é \begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é o 2 que está na coluna 1. Logo a entrada principal da linha 2 está na coluna 1 e tem valor 2.
Resumo:
entrada principal da linha 1: coluna 2, valor 1;
entrada principal da linha 2: coluna 1, valor 2.
Passo 5
Verificação das condições de REF para a ordem de linhas dada:
Condição crucial: as posições das entradas principais devem aumentar estritamente quando eu desço as linhas. Aqui a posição da linha 1 é coluna 2 e a da linha 2 é coluna 1. Isso significa que a posição da entrada principal desceu para a esquerda ao invés de ir para a direita. Portanto esta condição está violada.
Outra verificação: em REF, todas as entradas abaixo de uma entrada principal devem ser zero. A entrada principal da linha 1 está na coluna 2; olhando abaixo dela (linha 2, coluna 2) temos o elemento 3, que não é zero. Isso também viola a condição de zeros abaixo da entrada principal da linha 1.
Basta uma violação para concluir: a matriz, na ordem dada das linhas, não satisfaz as condições de forma escalonada por linhas.
Passo 6
Como a matriz não está em REF, ela também não pode estar em RREF (RREF exige ser REF antes de mais nada). Além disso, mesmo sem essa implicação, podemos ver que a entrada principal da linha 2 vale 2, que não é 1, então a condição “entradas principais iguais a 1” também falharia. Portanto não é RREF.
Passo 7
Para fixar o raciocínio e mostrar como reconhecer/arrumar isso na prova: geralmente podemos permutar linhas (operação elementar) para tentar alcançar REF. Se trocarmos a ordem das linhas (trocar linha 1 com linha 2), obtemos
\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora as entradas principais ficam nas colunas 1 (linha 1) e 2 (linha 2), que aumentam da cima para baixo — bom, isso satisfaz a condição de posição. Também as entradas abaixo de cada entrada principal são zeros (na coluna 1, abaixo de 2 há 0; na coluna 2, abaixo de 1 não há nada). Logo esta matriz (após a troca de linhas) está em REF.
Se quisermos a RREF, continuamos com operações:
Dividir a primeira linha por 2 para tornar a entrada principal 1:
Subtrair \dfrac{3}{2} vezes a segunda linha da primeira para zerar o elemento acima da entrada principal da segunda linha:
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é a identidade I_2, claramente em RREF.
Isso ilustra: a matriz original não estava em REF nem RREF na ordem dada, mas pode ser transformada em REF e então em RREF por operações de linha (o que é normal). Na prova, porém, a pergunta costuma ser sobre a forma em que a matriz aparece originalmente, sem fazer trocas implícitas, a menos que peçam “se pode ser colocada em REF”.]
Passo 8
Conclusão final e direta: a matriz dada, na ordem de linhas apresentada, viola as regras de forma escalonada (posição das entradas principais não aumenta para a direita; existem elementos não nulos abaixo de uma entrada principal), e por isso não está em REF; consequentemente também não está em RREF.
Resposta
A matriz não está em forma escalonada por linhas nem em forma escalonada reduzida por linhas.