Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}
está (a) na forma escalonada por linhas (REF), (b) na forma escalonada reduzida por linhas (RREF), ou (c) em nenhuma das duas.
Informações dadas: a única informação é a matriz A acima. Não há outras condições adicionais.]

Passo 2

Vou explicar com calma o que significa cada forma (isso é importante para você reconhecer na prova).
Definição intuitiva de forma escalonada por linhas (REF):
  • Cada linha nula (se houver) aparece abaixo de todas as linhas não nulas.
  • Em cada linha não nula, o primeiro elemento diferente de zero (chamado de “entrada principal” ou “leading entry”) fica mais à direita do que a entrada principal da linha imediatamente acima. Em outras palavras, os índices das entradas principais aumentam estritamente quando descemos as linhas.
  • Todas as entradas abaixo de uma entrada principal são zeros (ou seja, cada entrada principal tem zeros abaixo dela).
Observação sobre “entrada principal”: para uma linha, é o primeiro elemento não nulo lido da esquerda para a direita.

Passo 3

Definição de forma escalonada reduzida por linhas (RREF):
  • A matriz está em REF e, além disso,
  • Cada entrada principal vale 1.
  • Cada entrada principal é a única entrada não nula em sua coluna (ou seja, todos os outros elementos na coluna da entrada principal são zero).
Em palavras: RREF = REF + entradas principais iguais a 1 + cada coluna de uma entrada principal tem zeros em todas as posições, exceto na própria entrada principal.

Passo 4

Agora identifiquemos as entradas principais da matriz dada, linha a linha.
Linha 1 de A é \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo, olhando da esquerda para a direita, é o 1 que está na coluna 2. Logo a entrada principal da linha 1 está na coluna 2 e tem valor 1.
Linha 2 de A é \begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}. O primeiro elemento não nulo é o 2 que está na coluna 1. Logo a entrada principal da linha 2 está na coluna 1 e tem valor 2.
Resumo:
  • entrada principal da linha 1: coluna 2, valor 1;
  • entrada principal da linha 2: coluna 1, valor 2.

Passo 5

Verificação das condições de REF para a ordem de linhas dada:
Condição crucial: as posições das entradas principais devem aumentar estritamente quando eu desço as linhas. Aqui a posição da linha 1 é coluna 2 e a da linha 2 é coluna 1. Isso significa que a posição da entrada principal desceu para a esquerda ao invés de ir para a direita. Portanto esta condição está violada.
Outra verificação: em REF, todas as entradas abaixo de uma entrada principal devem ser zero. A entrada principal da linha 1 está na coluna 2; olhando abaixo dela (linha 2, coluna 2) temos o elemento 3, que não é zero. Isso também viola a condição de zeros abaixo da entrada principal da linha 1.
Basta uma violação para concluir: a matriz, na ordem dada das linhas, não satisfaz as condições de forma escalonada por linhas.

Passo 6

Como a matriz não está em REF, ela também não pode estar em RREF (RREF exige ser REF antes de mais nada). Além disso, mesmo sem essa implicação, podemos ver que a entrada principal da linha 2 vale 2, que não é 1, então a condição “entradas principais iguais a 1” também falharia. Portanto não é RREF.

Passo 7

Para fixar o raciocínio e mostrar como reconhecer/arrumar isso na prova: geralmente podemos permutar linhas (operação elementar) para tentar alcançar REF. Se trocarmos a ordem das linhas (trocar linha 1 com linha 2), obtemos
\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora as entradas principais ficam nas colunas 1 (linha 1) e 2 (linha 2), que aumentam da cima para baixo — bom, isso satisfaz a condição de posição. Também as entradas abaixo de cada entrada principal são zeros (na coluna 1, abaixo de 2 0; na coluna 2, abaixo de 1 não há nada). Logo esta matriz (após a troca de linhas) está em REF.
Se quisermos a RREF, continuamos com operações:
  • Dividir a primeira linha por 2 para tornar a entrada principal 1:
\begin{pmatrix}1 & \dfrac{3}{2} \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Subtrair \dfrac{3}{2} vezes a segunda linha da primeira para zerar o elemento acima da entrada principal da segunda linha:
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é a identidade I_2, claramente em RREF.
Isso ilustra: a matriz original não estava em REF nem RREF na ordem dada, mas pode ser transformada em REF e então em RREF por operações de linha (o que é normal). Na prova, porém, a pergunta costuma ser sobre a forma em que a matriz aparece originalmente, sem fazer trocas implícitas, a menos que peçam “se pode ser colocada em REF”.]

Passo 8

Conclusão final e direta: a matriz dada, na ordem de linhas apresentada, viola as regras de forma escalonada (posição das entradas principais não aumenta para a direita; existem elementos não nulos abaixo de uma entrada principal), e por isso não está em REF; consequentemente também não está em RREF.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada por linhas nem em forma escalonada reduzida por linhas.

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