Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=x^{2}(-\pi<x<\pi)

Passo 1

Resumindo: queremos a série de Fourier complexa de f(x)=x^2, estendida periodicamente de período 2\pi em (-\pi,\pi). O conteúdo é a definição de coeficientes
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx,
de modo que
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\,e^{inx}.

Passo 2

Cálculo de c_0:
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx =\frac{1}{2\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\frac{1}{2\pi}\cdot 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} =\frac{\pi^2}{3}.

Passo 3

Cálculo de c_n para n\neq0. Escrevemos
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2e^{-i n x}\,dx.
Fazemos integração por partes uma vez: seja u=x^2, dv=e^{-i n x}dx, então du=2x\,dx, v=-\tfrac{1}{i n}e^{-i n x}. Obtemos
\int_{-\pi}^{\pi}x^2e^{-i n x}\,dx =\Bigl[-\frac{x^2}{i n}e^{-i n x}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} +\frac{2}{i n}\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-i n x}\,dx.
O termo de contorno vale zero porque x^2 é par e e^{-i n x} em \pm\pi gera \sin(n\pi)=0. Resta
\int_{-\pi}^{\pi}x^2e^{-i n x}\,dx =\frac{2}{i n}\,\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-i n x}\,dx.

Passo 4

Chamemos J=\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-i n x}\,dx. Integramos por partes de novo: u=x, dv=e^{-i n x}dx, então du=dx, v=-\tfrac{1}{i n}e^{-i n x}.
J =\Bigl[-\frac{x}{i n}e^{-i n x}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} +\frac{1}{i n}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-i n x}\,dx.
O segundo integral é zero por \sin(n\pi)=0. O contorno dá
-\frac{\pi}{i n}e^{-i n\pi}-\Bigl(-\frac{-\pi}{i n}e^{i n\pi}\Bigr) =-\frac{2\pi}{i n}(-1)^n.
Logo
\int_{-\pi}^{\pi}x^2e^{-i n x}\,dx =\frac{2}{i n}\,J =\frac{2}{i n}\Bigl(-\frac{2\pi}{i n}(-1)^n\Bigr) =\frac{4\pi(-1)^n}{n^2}.
Portanto, para n\neq0,
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{4\pi(-1)^n}{n^2} =\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier complexa é
f(x)=x^2 =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\,e^{inx},
com
c_0=\frac{\pi^2}{3}, \quad c_n=\frac{2(-1)^n}{n^2}\quad(n\neq0).

Resposta

x^2 =\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n\neq0}\frac{2(-1)^n}{n^2}\,e^{inx}.

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