Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier complexa da função
O conteúdo é Série de Fourier Complexa, e vamos usar a fórmula dos coeficientes
seguida de integrações por partes.
Passo 2
Aplicamos diretamente a definição dos coeficientes complexos:
válido para todo inteiro
. Vamos separar o caso
e
.
Passo 3
Para
temos
Passo 4
Para
definimos
e integramos por partes duas vezes. Na primeira,
O termo de borda anula pois
e aparece subtraído de si mesmo. Chamamos
e integramos por partes de novo:
O segundo termo é zero por fechar ciclo completo de exponencial, e o de borda dá
Substituindo em
obtém-se
Logo
Passo 5
Reunindo, a série de Fourier complexa fica
com
Resposta
onde