Encontre a série complexa de Fourier das seguintes funções. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=x^{2}(-\pi<x<\pi)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier complexa da função
f(x)=x^{2},\quad -\pi<x<\pi.
O conteúdo é Série de Fourier Complexa, e vamos usar a fórmula dos coeficientes
C_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx,
seguida de integrações por partes.

Passo 2

Aplicamos diretamente a definição dos coeficientes complexos:
C_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}e^{-inx}\,dx,
válido para todo inteiro n. Vamos separar o caso n=0 e n\neq0.

Passo 3

Para n=0 temos
C_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx =\frac{1}{2\pi}\left[ \frac{x^{3}}{3}\right]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi^{3}}{3} =\frac{\pi^{2}}{3}.

Passo 4

Para n\neq0 definimos
I_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}e^{-inx}\,dx
e integramos por partes duas vezes. Na primeira,
u=x^{2},\quad dv=e^{-inx}dx \quad\Longrightarrow\quad I_{n} =\Bigl[\frac{x^{2}e^{-inx}}{-in}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} +\frac{2}{in}\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-inx}dx.
O termo de borda anula pois e^{-in\pi}=(-1)^{n} e aparece subtraído de si mesmo. Chamamos
J_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-inx}dx
e integramos por partes de novo:
u=x,\quad dv=e^{-inx}dx \quad\Longrightarrow\quad J_{n} =\Bigl[\frac{xe^{-inx}}{-in}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} +\frac{1}{in}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}dx.
O segundo termo é zero por fechar ciclo completo de exponencial, e o de borda dá
J_{n}=-\frac{2\pi(-1)^{n}}{in}.
Substituindo em I_{n}=\frac{2}{in}J_{n} obtém-se
I_{n} =\frac{2}{in}\cdot\Bigl(-\frac{2\pi(-1)^{n}}{in}\Bigr) =\frac{4\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Logo
C_{n}=\frac{I_{n}}{2\pi} =\frac{4\pi(-1)^{n}}{2\pi\,n^{2}} =\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}, \quad n\neq0.

Passo 5

Reunindo, a série de Fourier complexa fica
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{inx},
com
C_{0}=\frac{\pi^{2}}{3}, \qquad C_{n}=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\quad(n\neq0).

Resposta

x^{2} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{inx},
onde
C_{0}=\frac{\pi^{2}}{3}, \qquad C_{n}=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}}\;(n\neq0).

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