(Coeficientes de Fourier) Mostre que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas formas de escrever a série de Fourier de uma função
periódica de período
:
a forma real
a forma real
e a forma complexa
O objetivo é relacionar os coeficientes
com
.
Passo 2
Para conectar as duas expressões, vamos usar as fórmulas de Euler que expressam cosseno e seno em termos de exponenciais:
Passo 3
Substituindo essas expressões na forma real de
, obtemos
Agrupando os termos em
e
, fica
Passo 4
Como a forma complexa também se escreve
pela unicidade da expansão em potências de
vamos igualar coeficientes de cada
e
. Isso dá
Passo 5
Finalmente, basta resolver essas duas últimas igualdades para
e
. Somando
obtemos
e subtraindo
temos
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