(Coeficientes de Fourier) Mostre que a_{0}=c_{0}, a_{n}=c_{n}+c_{-n}, b_{n}=i\left(c_{n}-c_{-n}\right).

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas formas de escrever a série de Fourier de uma função f(x) periódica de período 2\pi:
a forma real
f(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr)
e a forma complexa
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}.
O objetivo é relacionar os coeficientes \{a_{n},b_{n}\} com \{c_{n}\}.

Passo 2

Para conectar as duas expressões, vamos usar as fórmulas de Euler que expressam cosseno e seno em termos de exponenciais:
\cos(nx)=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2},\qquad \sin(nx)=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na forma real de f(x), obtemos
f(x) = a_{0} +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_{n}\,\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2} \;+\; b_{n}\,\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} \right].
Agrupando os termos em e^{inx} e e^{-inx}, fica
f(x) = a_{0} +\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{a_{n}-i\,b_{n}}{2}\,e^{inx} +\frac{a_{n}+i\,b_{n}}{2}\,e^{-inx} \right).

Passo 4

Como a forma complexa também se escreve
f(x) = c_{0} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(c_{n}e^{inx}+c_{-n}e^{-inx}\bigr),
pela unicidade da expansão em potências de e^{inx} vamos igualar coeficientes de cada e^{inx} e e^{-inx}. Isso dá
c_{0}=a_{0},\qquad c_{n}=\frac{a_{n}-i\,b_{n}}{2},\qquad c_{-n}=\frac{a_{n}+i\,b_{n}}{2}.

Passo 5

Finalmente, basta resolver essas duas últimas igualdades para a_{n} e b_{n}. Somando c_{n}+c_{-n} obtemos
c_{n}+c_{-n} =\frac{a_{n}-i\,b_{n}}{2}+\frac{a_{n}+i\,b_{n}}{2} =a_{n},
e subtraindo c_{n}-c_{-n} temos
c_{n}-c_{-n} =\frac{a_{n}-i\,b_{n}}{2}-\frac{a_{n}+i\,b_{n}}{2} =-i\,b_{n},
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b_{n} =i\,(c_{n}-c_{-n}).

Resposta

a_{0}=c_{0},\quad a_{n}=c_{n}+c_{-n},\quad b_{n}=i\bigl(c_{n}-c_{-n}\bigr).

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