Encontre uma série cuja n-ésima soma parcial S_{n} é dada por
S_{n}=\frac{1}{2} \cdot\left(n^{2}-n\right)

Passo 1

O enunciado dá a n-ésima soma parcial
S_{n}=\frac{1}{2}\,(n^{2}-n)
e pede para encontrar uma série (i.e., os termos a_{n}) cuja soma parcial até n seja essa S_{n}. Observação importante: a soma parcial de zero termos é S_{0}=0. Não resolvemos nada neste passo, só listamos o que foi dado.

Passo 2

Ideia-chave (fórmula que vamos usar): se S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k} então o termo genérico da série é
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.
Explicação didática: S_{n} soma os primeiros n termos. Subtraindo S_{n-1} (que soma os primeiros n-1 termos) sobra exatamente o n-ésimo termo. Essa é a técnica padrão para recuperar os termos quando nos dão as somas parciais.

Passo 3

Calculemos S_{n-1} substituindo n-1 na fórmula dada:
S_{n-1}=\frac{1}{2}\,\big((n-1)^{2}-(n-1)\big).
Agora expandimos (n-1)^{2}-(n-1):
(n-1)^{2}-(n-1)= (n^{2}-2n+1)- (n-1)=n^{2}-2n+1-n+1=n^{2}-3n+2.
Portanto
S_{n-1}=\frac{1}{2}\,(n^{2}-3n+2).

Passo 4

Agora usamos a_{n}=S_{n}-S_{n-1}. Substituindo as expressões:
a_{n}=\frac{1}{2}\,(n^{2}-n)-\frac{1}{2}\,(n^{2}-3n+2).
Colocando em evidência o fator \tfrac{1}{2} e simplificando dentro dos parênteses:
a_{n}=\frac{1}{2}\big((n^{2}-n)-(n^{2}-3n+2)\big) =\frac{1}{2}\big(n^{2}-n-n^{2}+3n-2\big).
Continuando a simplificação dentro do parêntese:
n^{2}-n-n^{2}+3n-2=2n-2=2(n-1).
Logo
a_{n}=\frac{1}{2}\cdot 2(n-1)=n-1.

Passo 5

Conclusão e verificação rápida: o termo geral da série é a_{n}=n-1. Vamos checar os primeiros termos:
a_{1}=0,\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=2,\\ \ldots
Somando os primeiros n termos obtemos 0+1+2+\dots+(n-1)=\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{n^{2}-n}{2}, que coincide com a S_{n} dada. (Bom sinal — está correto.) Observação final: a série infinita \sum_{n=1}^{\infty}(n-1) diverge, mas a questão pedia apenas uma série com aquelas somas parciais, o que acabamos de obter.

Resposta

\displaystyle a_{n}=n-1
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)

Exercícios relacionados