Encontre uma série cuja
-ésima soma parcial
é dada por
Passo 1
O enunciado dá a
-ésima soma parcial
e pede para encontrar uma série (i.e., os termos
) cuja soma parcial até
seja essa
. Observação importante: a soma parcial de zero termos é
. Não resolvemos nada neste passo, só listamos o que foi dado.
Passo 2
Ideia-chave (fórmula que vamos usar): se
então o termo genérico da série é
Explicação didática:
soma os primeiros
termos. Subtraindo
(que soma os primeiros
termos) sobra exatamente o
-ésimo termo. Essa é a técnica padrão para recuperar os termos quando nos dão as somas parciais.
Passo 3
Calculemos
substituindo
na fórmula dada:
Agora expandimos
:
Portanto
Passo 4
Agora usamos
. Substituindo as expressões:
Colocando em evidência o fator
e simplificando dentro dos parênteses:
Continuando a simplificação dentro do parêntese:
Logo
Passo 5
Conclusão e verificação rápida: o termo geral da série é
. Vamos checar os primeiros termos:
Somando os primeiros
termos obtemos
, que coincide com a
dada. (Bom sinal — está correto.) Observação final: a série infinita
diverge, mas a questão pedia apenas uma série com aquelas somas parciais, o que acabamos de obter.