Encontre uma série cuja
-ésima soma parcial
é dada por
Passo 1
O enunciado dá a sequência das somas parciais
de uma série por
O que o problema pede é: encontre uma série (ou seja, encontre o termo geral
da série) cuja
-ésima soma parcial seja exatamente essa
. As informações relevantes que temos estão listadas acima e vamos usá‑las para obter
.
Passo 2
Conceito essencial (aula rápida): se
é a sequência de termos de uma série, a
-ésima soma parcial é definida por
Uma consequência direta é a fórmula para recuperar o termo geral a partir das somas parciais:
para
, tomando
. Vou usar exatamente essa fórmula para achar
. Isso funciona porque somando as diferenças telescopicamente obtemos as somas parciais (ou seja,
).
Passo 3
Primeiro escrevo
substituindo
por
na expressão dada:
Lembre que aqui assumimos
, o que garante que para
teremos
.
Passo 4
Agora aplico a fórmula
. Escrevo a diferença com denominador comum:
Passo 5
Faço a expansão dentro dos parênteses e simplifico passo a passo:
Subtraindo as duas expressões temos
Substituindo esse resultado em
obtemos
Passo 6
Verificação rápida (checar caso
): para
,
e isso bate com
. Além disso, o limite das somas parciais é
portanto a soma infinita da série (se considerarmos a série até o infinito) é
, compatível com a definição de
.