Encontre uma série cuja n-ésima soma parcial S_{n} é dada por
S_{n}=\frac{3 n}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência das somas parciais S_n de uma série por
S_n=\frac{3n}{5n+1}.
O que o problema pede é: encontre uma série (ou seja, encontre o termo geral a_n da série) cuja n-ésima soma parcial seja exatamente essa S_n. As informações relevantes que temos estão listadas acima e vamos usá‑las para obter a_n.

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida): se (a_n)_{n\ge1} é a sequência de termos de uma série, a n-ésima soma parcial é definida por
S_n=\sum_{k=1}^n a_k.
Uma consequência direta é a fórmula para recuperar o termo geral a partir das somas parciais:
a_n=S_n-S_{n-1},
para n\ge1, tomando S_0=0. Vou usar exatamente essa fórmula para achar a_n. Isso funciona porque somando as diferenças telescopicamente obtemos as somas parciais (ou seja, S_n=(S_1-S_0)+(S_2-S_1)+\dots+(S_n-S_{n-1})).

Passo 3

Primeiro escrevo S_{n-1} substituindo n por n-1 na expressão dada:
S_{n-1}=\frac{3(n-1)}{5(n-1)+1}=\frac{3(n-1)}{5n-4}.
Lembre que aqui assumimos S_0=0, o que garante que para n=1 teremos a_1=S_1-S_0=S_1.

Passo 4

Agora aplico a fórmula a_n=S_n-S_{n-1}. Escrevo a diferença com denominador comum:
a_n=\frac{3n}{5n+1}-\frac{3(n-1)}{5n-4}=\frac{3\bigl(n(5n-4)-(n-1)(5n+1)\bigr)}{(5n+1)(5n-4)}.

Passo 5

Faço a expansão dentro dos parênteses e simplifico passo a passo:
n(5n-4)=5n^2-4n,
(n-1)(5n+1)=5n^2-4n-1.
Subtraindo as duas expressões temos
n(5n-4)-(n-1)(5n+1)=(5n^2-4n)-(5n^2-4n-1)=1.
Substituindo esse resultado em a_n obtemos
a_n=\frac{3\cdot 1}{(5n+1)(5n-4)}=\frac{3}{(5n+1)(5n-4)}.

Passo 6

Verificação rápida (checar caso n=1): para n=1,
a_1=\frac{3}{(5\cdot 1+1)(5\cdot 1-4)}=\frac{3}{6\cdot 1}=\frac{1}{2},
e isso bate com S_1=\dfrac{3\cdot1}{5\cdot1+1}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}. Além disso, o limite das somas parciais é
\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{5n+1}=\frac{3}{5},
portanto a soma infinita da série (se considerarmos a série até o infinito) é \dfrac{3}{5}, compatível com a definição de S_n.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{3}{(5n+1)(5n-4)} \
\displaystyle \text{Série: }\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{(5n+1)(5n-4)}é

Exercícios relacionados