Encontre uma série cuja n-ésima soma parcial S_{n} é dada por
S_{n}=\frac{n^{2}}{n+3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma série cuja n-ésima soma parcial S_{n} é
S_{n}=\frac{n^{2}}{n+3}.
Informações relevantes dadas:
  • A sequência das somas parciais é \displaystyle S_{n}=\frac{n^{2}}{n+3} para n\ge1.
  • Precisamos produzir a série (ou seja, a sequência dos termos) cuja soma parcial de ordem n seja exatamente essa S_{n}.
  • Assumimos S_{0}=0 (padrão: soma parcial zero antes de somar qualquer termo).

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): se S_{n} é a soma parcial até n, então o n-ésimo termo da série, que chamo de a_{n}, é a diferença entre duas somas parciais consecutivas:
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.
Por que isso é verdade? Porque
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} \quad\text{e}\quad S_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k},
então subtraindo as duas somas o único termo que sobra é a_{n}. Exemplo simples para fixar: se S_{n}=n, então a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n-(n-1)=1.

Passo 3

Vamos escrever S_{n-1} usando a fórmula dada, substituindo n por n-1:
S_{n-1}=\frac{(n-1)^{2}}{(n-1)+3}=\frac{(n-1)^{2}}{n+2}.
Portanto, pelo passo anterior,
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{n^{2}}{n+3}-\frac{(n-1)^{2}}{n+2}.

Passo 4

Vamos calcular a diferença explicitamente. Colocamos em denominador comum (n+3)(n+2):
a_{n}=\frac{n^{2}(n+2)-(n-1)^{2}(n+3)}{(n+3)(n+2)}.
Agora expandimos os numeradores passo a passo:
n^{2}(n+2)=n^{3}+2n^{2},
(n-1)^{2}(n+3)=(n^{2}-2n+1)(n+3)=n^{3}+n^{2}-5n+3.
Subtraindo:
n^{3}+2n^{2}-(n^{3}+n^{2}-5n+3)=n^{2}+5n-3.
Logo
a_{n}=\frac{n^{2}+5n-3}{(n+3)(n+2)}.

Passo 5

Para simplificar e achar uma forma mais manejável, observe que o denominador expandido é
(n+3)(n+2)=n^{2}+5n+6.
Fazendo a divisão entre polinômios (ou simplesmente subtraindo), escrevemos a_{n} como constante mais fração:
\frac{n^{2}+5n-3}{n^{2}+5n+6}=1-\frac{9}{n^{2}+5n+6},
ou seja
a_{n}=1-\frac{9}{(n+2)(n+3)}.

Passo 6

Agora decompondo a fração \displaystyle \frac{9}{(n+2)(n+3)} em frações simples:
procuramos A e B tais que
\frac{9}{(n+2)(n+3)}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+3}.
Multiplicando por (n+2)(n+3) obtemos
9=A(n+3)+B(n+2).
Tomando n=-2 9=A. Tomando n=-3 9=-B, logo B=-9. Portanto
\frac{9}{(n+2)(n+3)}=\frac{9}{n+2}-\frac{9}{n+3}.
Substituindo em a_{n}:
a_{n}=1-\left(\frac{9}{n+2}-\frac{9}{n+3}\right)=1-\frac{9}{n+2}+\frac{9}{n+3}.

Passo 7

Interpretação e verificação (técnica do telescópio): a expressão
a_{n}=1-\frac{9}{n+2}+\frac{9}{n+3}
é conveniente porque, ao somarmos a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, os termos do tipo \frac{9}{n+3} e -\frac{9}{n+2} se cancelam parcialmente. Vamos verificar que, somando de k=1 até k=n, voltamos a S_{n}:
\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}1-\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{k+2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{k+3}.
A primeira soma é n. Nas outras duas, a maioria dos termos cancela:
-\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{k+2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{k+3} =9\Big(-\frac{1}{3}+\frac{1}{n+3}\Big)
porque os termos \frac{1}{4},\dots,\frac{1}{n+2} aparecem com sinais opostos. Assim
\sum_{k=1}^{n}a_{k}=n+9\Big(-\frac{1}{3}+\frac{1}{n+3}\Big)=n-3+\frac{9}{n+3}.
Colocando num único quociente:
n-3+\frac{9}{n+3}=\frac{n^{2}}{n+3},
que é exatamente S_{n}. Portanto a expressão encontrada para a_{n} está correta.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{9}{n+2}+\frac{9}{n+3}\right),
ou seja, o n-ésimo termo é
a_{n}=1-\frac{9}{n+2}+\frac{9}{n+3}.

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