Encontre uma série cuja
-ésima soma parcial
é dada por
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma série cuja
-ésima soma parcial
é
Informações relevantes dadas:
- A sequência das somas parciais é
para . - Precisamos produzir a série (ou seja, a sequência dos termos) cuja soma parcial de ordem
seja exatamente essa . - Assumimos
(padrão: soma parcial zero antes de somar qualquer termo).
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): se
é a soma parcial até
, então o
-ésimo termo da série, que chamo de
, é a diferença entre duas somas parciais consecutivas:
Por que isso é verdade? Porque
então subtraindo as duas somas o único termo que sobra é
. Exemplo simples para fixar: se
, então
.
Passo 3
Vamos escrever
usando a fórmula dada, substituindo
por
:
Portanto, pelo passo anterior,
Passo 4
Vamos calcular a diferença explicitamente. Colocamos em denominador comum
:
Agora expandimos os numeradores passo a passo:
Subtraindo:
Logo
Passo 5
Para simplificar e achar uma forma mais manejável, observe que o denominador expandido é
Fazendo a divisão entre polinômios (ou simplesmente subtraindo), escrevemos
como constante mais fração:
ou seja
Passo 6
Agora decompondo a fração
em frações simples:
procuramos e
tais que
procuramos
Multiplicando por
obtemos
Tomando
dá
. Tomando
dá
, logo
. Portanto
Substituindo em
:
Passo 7
Interpretação e verificação (técnica do telescópio): a expressão
é conveniente porque, ao somarmos
, os termos do tipo
e
se cancelam parcialmente. Vamos verificar que, somando de
até
, voltamos a
:
A primeira soma é
. Nas outras duas, a maioria dos termos cancela:
porque os termos
aparecem com sinais opostos. Assim
Colocando num único quociente:
que é exatamente
. Portanto a expressão encontrada para
está correta.
Resposta
ou seja, o
-ésimo termo é