A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede que eu conclua sobre a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Preciso decidir se a série converge ou diverge (e justificar).
Passo 2
Vamos entender explicitamente o valor de
dependendo de
par ou ímpar. Se
é ímpar então
, e se
é par então
. Portanto:
- Para
ímpar:
- Para
par:
Logo a sequência de termos é:
— ou seja, alterna entre
e
.
Passo 3
Vou usar um fato fundamental sobre séries (sempre útil na prova): se a série
converge, então o termo geral
necessariamente tende a zero quando
. Em notação:
Explicando o porquê de forma simples: se
tem limite quando
, então a diferença entre somas consecutivas
deve tender a zero porque as duas somas
e
tendem ao mesmo limite. Esse resultado é uma condição necessária para convergência (mas não suficiente).
Passo 4
Apliquei o fato ao nosso termo geral. Observamos que a sequência
não tem limite igual a zero: existem subsequências com limite
(os índices ímpares) e subsequências com limite
(os índices pares). Portanto
não existe e, em particular, não é
. Pela condição necessária acima, a série não pode convergir; isto é, a série diverge.
Passo 5
Para reforçar e ver mais concretamente o que acontece com as somas parciais, calculemos
.
- Para
(número par de termos), cada par vale cujo somatório é . Logo
- Para
(ímpar), temos uma última entrada a mais, então
Assim as somas parciais crescem sem limite:
quando
. Isso confirma que a série diverge (na verdade diverge para
).
Resposta
A série diverge (não converge).