A partir do termo geral, conclua sobre a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[2+(-1)^{n} \cdot 2\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu conclua sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left[2+(-1)^{n}\cdot 2\right].
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_{n}=2+(-1)^{n}\cdot 2.
  • Preciso decidir se a série converge ou diverge (e justificar).

Passo 2

Vamos entender explicitamente o valor de a_{n} dependendo de n par ou ímpar. Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1, e se n é par então (-1)^{n}=1. Portanto:
  • Para n ímpar:
a_{n}=2+(-1)\cdot 2=2-2=0.
  • Para n par:
a_{n}=2+(1)\cdot 2=2+2=4.
Logo a sequência de termos é: a_{1}=0,\; a_{2}=4,\; a_{3}=0,\; a_{4}=4,\;\dots — ou seja, alterna entre 0 e 4.

Passo 3

Vou usar um fato fundamental sobre séries (sempre útil na prova): se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então o termo geral a_{n} necessariamente tende a zero quando n\to\infty. Em notação:
\text{Se }\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.ã
Explicando o porquê de forma simples: se S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} tem limite quando N\to\infty, então a diferença entre somas consecutivas a_{N}=S_{N}-S_{N-1} deve tender a zero porque as duas somas S_{N} e S_{N-1} tendem ao mesmo limite. Esse resultado é uma condição necessária para convergência (mas não suficiente).

Passo 4

Apliquei o fato ao nosso termo geral. Observamos que a sequência (a_{n}) não tem limite igual a zero: existem subsequências com limite 0 (os índices ímpares) e subsequências com limite 4 (os índices pares). Portanto \lim_{n\to\infty} a_{n} não existe e, em particular, não é 0. Pela condição necessária acima, a série não pode convergir; isto é, a série diverge.

Passo 5

Para reforçar e ver mais concretamente o que acontece com as somas parciais, calculemos S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}.
  • Para N=2k (número par de termos), cada par (a_{2j-1},a_{2j}) vale (0,4) cujo somatório é 4. Logo
S_{2k}=4+4+\dots+4\\ (\text{k vezes})=4k.
  • Para N=2k-1 (ímpar), temos uma última entrada 0 a mais, então
S_{2k-1}=4(k-1)+0=4(k-1).
Assim as somas parciais crescem sem limite: S_{2k}=4k\to+\infty quando k\to\infty. Isso confirma que a série diverge (na verdade diverge para +\infty).

Resposta

A série diverge (não converge).

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