ENCONTRE A SE’RIE D E MACLAURIN DA funçáo f(x)=11-x e seu raio de convergíencia.

Passo 1

No enunciado temos a função f(x)=11-x. O objetivo é desenvolver a série de Maclaurin, isto é, escrever
f(x)=sumn=0^inftyan,x^n,
e encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso vamos usar a fórmula dos coeficientes de Maclaurin an=tfracf^(n)(0)n! e o teste da razão.

Passo 2

Observando que
f(x)=(1-x)^-1,
podemos usar a regra de derivação de potências para obter a derivada de ordem n:
f^(n)(x)=d^ndx^nl[(1-x)^-1r] =n!,(1-x)^-n-1
Em particular, em x=0 isso dá
f^(n)(0)=n!
Logo o coeficiente de Maclaurin é
an=f^(n)(0)n!=1

Passo 3

Substituindo an=1 na definição da série, obtemos
f(x)=sumn=0^inftyan,x^n =sumn=0^inftyx^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos termos x^n:
L=limntoinfty|x^n+1x^n| =limntoinfty|x|=|x|
A série converge se L<1, ou seja, para |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1

Resposta

11-x=sumn=0^inftyx^n,
Raio de convergência: R=1.

Exercícios relacionados