Questão 9. Para as seguintes curvas dadas na forma paramétrica, calcule seu comprimento de arco.
lx=a cos (t) y=a sen(t), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
l x = acos(t) y = asen(t) tin[0,2pi]
e pede seu comprimento de arco. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco de curva no plano usando parametrização.

Passo 2

Para uma curva r(t)=(x(t),y(t)) de t0 a t1, o comprimento de arco é
L = integralt0^t1 raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Calculamos as derivadas:
x'(t) = -asin(t), y'(t) = acos(t)
Então o integrando fica
raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = raiza^2sin^2(t) + a^2cos^2(t) = raiza^2 = a,
assumindo a>0.

Passo 4

Substituindo no integral de 0 a 2pi,
L = integral0^2pi a,dt = al[tr]0^2pi = 2pi a

Resposta

L = 2pi a

Exercícios relacionados